i36 NOTES. 



pour l'intégration , on pourra écrire la formule de la manière suivante ; 



surf, de révol. = — f (^-\-^m cos a + m"" ) ^ sin ad a 



-H — f(4: -\- 4:771 cos tX-i- 772^) (jU"^ 4) si7iaclc/.-\- Qi l 



d'où Fon déduit l'intégrale 



i. - 



surf, de rérol. = C — ('4 — 4 m cos a + m^) ' — ^ — f m^ — 4) (4 + 4 zw cos a + 771'') ' 7 



pour déterminer la constante , mettons dans la formule au lieu de cos a la 

 quantité -y- qui répond au point jT le plus bas de la courbe, et nous aurons, 

 en réduisant, 



[3 15] m- ' 



Pour avoir la partie de la surface engendrée par l'arc sgf, il faut poser dans 

 la formule cos a=: 1 j et pour la surface engendrée ^ox fast, cosol-=. — 1, 

 ce qui donne en réduisant : 



^jtV' 32 (2±:77z)5 (tto^ — 4) (2±:?re)5"| ^ 



surf. 



= -[■ 



i5 10 6 



faisons la somme de ces quantités pour avoir la surface engendrée par la 

 courbe entière et réduisons en même temps, nous aurons le résultat très- 

 simple. 



surf, de révol. = 8 tt + 4 tt m^. 



D'où l'on voit que la surface engendrée par la courbe entière dans sa 

 révolution, vaut deux fois la surface de la sphère engendrée par la circon- 

 férence du cercle générateur plus l'aire d'une sphère de rayon 771, comme 

 nous l'avons énoncé plus haut. 



Nous avons employé précédemment -^ comme la valeur du cosinus qui 



répond au point le plus bas de la courbe. Voici comment on peut déter- 

 miner les points maximum et minimum par les équations polaires. 



