i56 NOTE ADDITIONNELLE. 



Dans cette équation, s'il y a deux racines réelles correspon- 

 dantes aux deux valeurs de x dont nous cherchons à constater 

 l'existence, leur valeur sera si petite qu'on pourra négliger les 

 puissances de y supérieures à la deuxième, et il restera une 

 équation du second degré en y laquelle indiquera si les deux 

 racines de <p {x) comprises entre les limites cherchées sont ima- 

 ginaires ou réelles, égales ou inégales, et qui dans ces derniers 

 cas donnera en outre leurs valeurs. 



Il paraît que , dans l'équation dont nous nous occupons , la 

 meilleure manière de faire les substitutions est celle des moyen- 

 nes valeurs. Soient en effet deux substitutions z^ et p, quand 

 on connait la valeur de tous les termes de 9 {u) et de <^ (v) on 



trouvera facilement tous ceux de «p f ~V ) '■> car le terme A a —^ , 



par exemple , est égal à A "v^a". a" ; d'où l'on déduit 



u-\-v ( u - '^ \ 



log{Aa'-^)~h^log{Aa )-^log{Ka ) 



valeur très-facile à obtenir et qui donne tout de suite ka -7" 

 au moyen des tables. 



Comme il faut se-servir de logarithmes , on ne doit pas essayer 

 de trouver des racines avec plus de six caractères; ainsi le nom- 

 bre des substitutions à faire entre deux limites différant de 

 l'unité ne dépassera jamais vingt, puisqu'au delà leur utilité 

 devient illusoire : encore faut-il observer que cela ne peut de- 

 venir nécessaire que pour le quart du nombre des racines des 

 dérivées successives de ç dans le cas le plus défavorable, et 

 pour l'approximation des racines de <p lui-même. On voit donc 

 que l'opération ne sera pas très-compliquée. 



