-^ tanh X = sech^ x -y- coth x = -csch^ 



dx dx 



— sech a; = - sech x tanh x 

 dx 



— csch ar = - csch x coth ar 



sin {ix) = i sinh a; sinh {ix) = i sin x 



cos (ia;) = cosh x cosh (ia;) = cos ar 



tan (za;) = i tanh x tanh (ia;) = i tan a; 



cot (ia;) = - i coth a; coth (^aJ) = - i cot a; 



sin (a; - iy) = sin ar cosh y'^i cos ar sinh y 

 cos (ar i iy) = cos x cosh y + i sin ar sinh y 



tan (ar ±iy)=l sin 2^ ± i sinh 2y 

 2 cos-^ ar + sinh'^y 



cot (art iy) =1 sin 2ar + i sinh 2y 

 2 sin'' ar + sinh-* y 



cos ar cosh y -i sin ar sinh y 

 sec (ar ± iy) = r — "^ 



cos-' ar + sinb^ y 



sin a; cosh y + i cos x sinh y 



CSC (x t iy) = r^5 —-9 



sin-' ar + sinh-'y 



sinh (ar - iy) = sinh ar cos y "^ i cosh ar sin y 



cosh (ar - iy) = cosh ar cos y '^ i sinh ar sin y 



1 sinh 2ar - i sin 2y 

 tanh (ar ±- iy) = 1. — 



2 sinh-* X + cos'' y 



1 sinh 2ar + i sin 2y 

 coth (x ± iy) = — 7-^ — 



2 sinh2 ar + sin-'y 



cosh ar cos y + i sinh ar sin y 



sech (ar - iy) = — -:; ^ 



sinh'' ar + cos-'y 



67 



