C ii 1 1 e t'schen Logarithmen etc. 117 



merkwürdigste Fall in dieser letzteren Beziehung ergibt sich bei 

 den dritten Differenzen 84052 und 84056 des log. 101098 und 

 log. 101099, wo, statt einer Abnahme von 2 oder 3, sogar eine 

 Zunahme von 4 zum Vorscheine kommt. 



Diese, bei einem flüchtigen Überblicke schon erkennbare, 

 Unnatürlichkeit der Callefschen dritten Differenzen ist die noth- 

 wendige Folge des g e w ö h n 1 i c h e n Verfahrens bei der Differenzen- 

 Bestimmung, indem man die Logarithmen (oder in andern Fällen die 

 Glieder der Hauptreihe) auf die verlangte Anzahl der Decimalen 

 (hier 20) streng beschränkt, und sodann aus den Logarithmen die 

 ersten Differenzen, aus diesen die zweiten u. s. w. ableitet. Da aber 

 die letzte Decimale der Logarithmen (wegen der Weglassung der 

 nachfolgenden Decimalen) entweder etwas zu gross oder zu klein 

 sein muss, so können diese unvermeidlichen Unrichtigkeiten, obwohl 

 sie einzeln nur höchstens eine halbe Einheit (und selbst diese 

 niemals ganz) betragen, bei den auf einander folgenden 5 Loga- 

 rithmen, welche zur Bestimmung einer vierten Differenz erforderlich 

 sind, so beschaffen sein, dass sie, in Folge der wiederholten Sub- 

 tractionen, den Wertli der vierten Differenz schon um mehrere 

 Einheiten vergrössern oder verkleinern, und hierdurch bis zur 

 Unnatürlichkeit entstellen. 



Das einfache Mittel, möglichst richtige Differenzen zu erhalten, 

 besteht darin , die Logarithmen mit 2 Decimalen über die verlangte 

 Anzahl, d. h. im vorliegenden Falle mit 22 Decimalen, zu berechnen, 

 aus diesen sodann die Differenzen nach der gewöhnlichen Weise 

 abzuleiten, und endlich die Logarithmen sowohl als die Differenzen 

 auf die verlangte Zahl von 20 Decimalen zu beschränken. Die Bich- 

 tigkeit der eben gemachten Bemerkungen stellt sich am besten an 

 einem Beispiele vor Äugen; der Kürze wegen unterlasse ich es hier 

 ein solches durchzuführen. 



Ihrer Natur nach bilden zwar die Logarithmen unserer Tafel eine 

 unendliche arithmetische Beihe , welche aber durch die Beschrän- 

 kung auf 20 Decimalen zu einer endlichen Beihe des vierten 

 Banges wird, weil die vierten Differenzen gleich sind, nämlich 2^/^. 

 Durch die ganze Tafel bilden demnach auch die gleichnamigen 

 Differenzen arithmetische Beihen , und zAvar die dritten Differenzen 

 eine Beihe des ersten, die zweiten Differenzen eine Beihe des zweiten, 

 und die ersten Differenzen eine Beihe des dritten Banges. Auf der 



