Abhandlung: die Auflösung der Gleichungen betreffend. 195 



für Gleichungen bis zum vierten Grade besitzt , wird man wohl in 

 den seltensten Fällen, und etwa nur mit Ausnahme der quadratischen, 

 von einer solchen mit Vortheil Gebrauch machen können, um zur 

 Kenntniss der Wurzeln dieser Gleichungen zu gelangen. Ungleich 

 wichtiger für die Anwendung sind daher jene Methoden, welche die 

 Werthe der Wurzeln annäherungsweise bestimmen lehren. Soll aber 

 eine solche Methode an die Stelle einer strengen Auflösung der Glei- 

 chungtreten können, so muss dieselbe nicht bloss jeden möglichen Grad 

 der Genauigkeit erreichbar machen; es ist auch noch nothwendig, 

 dass man sichere Kennzeichen zur Beurtheilung des jedesmal er- 

 reichten Grades dieser Genauigkeit besitze. Die von Fourier 

 vervollkommnete lineare Annäherungs-Methode, welche zuerst von 

 Newton in minder vollkommener Form angewandt worden ist, die 

 reellen Wurzeln der Gleichungen mit numerischen Coefficienten zu 

 erhalten, entspricht nicht nur jenen Forderungen, sondern empfiehlt 

 sich auch durch Einfachheit des zu führenden Calculs. Kennt man 

 nämlich den Werth einer reellen Wurzel einer gegebenen Gleichung 

 mit numerischen Coefficienten bis zu einem bekannten Grade der 

 Genauigkeit, alsdann liefert eine zwei- oder mehrmal wiederholte 

 Anwendung der Operationen, welche die genannte Methode vor- 

 schreibt, immer mehr und mehr Stellen von dem in Decimalbruchform 

 ausgedrückten Werthe der Wurzel, die dem wahren Werthe ange- 

 hören, wobei die Menge dieser Stellen mit der Anzahl dieser Wieder- 

 holungen in einer geometrischen Progression wächst und zugleich 

 über den erlangten Grad der Genauigkeit der Wurzel mit befrie- 

 digender Vollständigkeit Rechenschaft gegeben werden kann. Nach 

 dem gegenwärtigen Stande der Theorie der Gleichungen mit nume- 

 rischen Coefficienten zerfällt deren Auflösung in zwei wesentlich 

 von einander verschiedene Theile, deren einer sich mit der Trennung 

 der Wurzeln einer Gleichung, der andere aber mit der numerischen 

 Berechnung der getrennten Wurzeln beschäftigt. Die von Sturm, 

 Fourier und Cauchy entdeckten Lehrsätze setzen uns in den 

 Stand, in jedem besondern Falle einer Gleichung mit numerischen 

 Coefficienten, sofern dieselben nur reelle Zahlen sind, folgende 

 Fragen entscheidend zu erledigen: Hat eine vorgelegte Gleichung 

 reelle Wurzeln oder besitzt sie keine derselben? Wenn reelle Wurzeln 

 vorhanden sind, wie gross ist die Menge derselben? Zwischen 

 welchen Grenzen liegen diese reellen Wurzeln insgesammt, und 



13* 



