J96 Stampfer und Burg. Gutachten über Moth's 



zwischen welchen jede einzelne von ihnen? Welches sind nämlich die 

 einzelnen Intervalle, die so beschaffen sind, dass jedes von ihnen nur 

 eine einzige Wurzel enthält? Da man übrigens die Mittel kennt, die 

 Auflösung einer Gleichung, wenn solche vielfache Wurzeln besitzt, 

 von der Auflösung einer andern abhängig zu machen, deren sämmtliche 

 Wurzeln nur einfache sind, so sieht man sich mittelst der erwähnten 

 Lehrsätze in den Stand gesetzt, die reellen Wurzeln einer Gleichung 

 dergestalt von einander zu trennen, dass für jede aus ihnen zwei 

 Grenzwerthe angegeben werden können, zwischen denen nicht mehr 

 Wurzeln liegen, als eben nur diese eine. Bezüglich der reellen 

 Wurzeln einer Gleichung ist daher der erste Theil der Aufgabe von 

 der Auflösung der Gleichungen mit numerischen Coefficienten als 

 vollständig gelöst zu betrachten. 



Kennt man nun zwei Grenzen, zwischen welchen eine reelle 

 Wurzel einer bestimmten Gleichung liegt, und ist man versichert, 

 dass in diesem Intervalle keine andere Wurzel dieser Gleichung 

 mehr liegt; alsdann ist es noch erforderlich, Werthe zu bestimmen, 

 denen sich die Wurzel immer mehr und mehr nähert, um zur Kennt- 

 niss aller Ziffern zu kommen, durch welche dieselbe ausgedrückt 

 wird, wenn die Anzahl dieser Ziffern begrenzt ist, oder doch so viele 

 genaue Ziffern, als man will zu finden, das heisst, es ist erforderlich, 

 den Werth der Wurzel annäherungsweise zu berechnen. Dieser 

 Zweck kann durch verschiedene, mehr oder weniger weitläufige 

 Rechnungen erfordernde Verfahrungsarten erreicht werden. Ein 

 erstes Mittel bietet die bereits erwähnte Newton'sche oder lineare 

 Annäherungs -Methode dar. In seinem berühmten Werke über die 

 Auflösung der numerischen Gleichungen hat Lagrange bereits 

 angezeigt, dass diese Methode in der Form, wie sie von Newton 

 gegeben worden ist, unvollständig sei, indem sie kein Merkmal 

 darbietet, woran sich die Richtigkeit der Annäherung jedesmal mit 

 Gewissheit erkennen lasse, und hat hinzugefügt, dass es sehr schwer, 

 vielleicht selbst unmöglich sei, a priori ein Merkmal zu finden, wor- 

 nach sich beurtheilen Hesse, ob die Bedingung der Convergenz der 

 Operation erfüllt sei oder nicht. Diese wichtige Frage ist jetzt durch 

 Fourier's Bemühungen vollständig gelöst, so dass die lineare 

 Approximation immer anwendbar ist, und eine vollständige Kenntniss 

 des gesuchten Werthes einer reellen Wurzel erreichen hilft. Diesem 

 Geometer verdanken wir aber nicht bloss diese wichtige Vervoll- 



