Abhandlung: die Auflösung dei* Gleichungen betreffend. 197 



kommnung der Newton sehen Methode, er bereicherte die Wissen- 

 schaft auch durch bedeutende Verbesserungen an dem numerischen 

 Calcul, welchen die Bestimmung der reellen Wurzel fordert. Allein 

 dieser Vorzüge ungeachtet, trägt, wie ihr Vorbild, die Newton'sche, 

 auch diese Fo urier'sche in sofern noch nicht das Gepräge der Voll- 

 kommenheit an sich, indem diese, wie jene, bereits auf einen gewis- 

 sen Grad genäherte Grenzwerthe voraussetzt, um sogleich zur An- 

 Avendung des approximativen Verfahrens fortschreiten zu können. 

 Dies wird nämlich nur dann der Fall sein können, wenn für die 

 beiden Grenzwerthe a, h einer Wurzel der Gleichung, die wir mit f 

 (x) = o vorstellig machen wollen, noch die besondere Bedingung 

 erfüllt ist, dass, während diese Gleichung zwichen a und b nur eine 

 reelle Wurzel liegen hat, die beiden Gleichungen f (x) = o und/" 

 (^x^ = o in eben demselben Intervall keine Wurzeln haben. Man 

 muss daher, wenn dies noch nicht der Fall wäre, das Intervall a . .h 

 so lange durch einen oder mehrere Mittelwerthe theilen, bis man zu 

 zwei Grenzwerthen gelangt, für welche die erwähnten Bedingungen 

 erfüllt sind. Von diesen aus beginnt hierauf das geregelte Verfahren 

 der approximativen Bestimmung, der in diesem Intervall liegenden 

 reellen Wurzel. Diesem Übelstande ist von Cauchy durch zwei all- 

 gemeine Methoden, deren eine am 22. und 29. Mai 1837, und die 

 andere am 4. September desselben Jahres der Akademie der Wissen- 

 schaften zu "Paris vorgelegt wurde , begegnet worden , indem durch 

 deren AuAvendung aus je zwei, wenn gleich noch so entfernten 

 GrenzAverthen a und h einer Wurzel allezeit nähere Werthe der- 

 selben erhalten Averden, Avährend die Anwendung des F o ur i e r'schen 

 Verfahrens, Avenn die oben erwähnten Bedingungen für die beiden 

 Grenzwerthe a und h noch nicht erfüllt wären, eine solche Bestim- 

 mung dadurch unsicher macht, dass man sich , anstatt dem wahren 

 Werthe der Wurzel näher zu kommen, zuAveilen von ihr auch Avieder 

 entfernt. Zur Erreichung desselben ZAveckes lassen sich auch noch die 

 mannigfaltigen Formeln der Mathematik gebrauchen, als die continuir- 

 lichen Brüche, die recurrenten Reihen, die Producte mit unendlichen 

 Factorenfolgen, insbesondere die der binomischen Factoren von der 



Form (1 + ^) (1 -f A) (1 + -1^) . . . , worin a, ß, 7, . . . ein- 



zifferige Zahlen bedeuten, und mehrere andere, und sind zum Theil 

 in der That dazu verwendet worden, wie die erste von Lagrange, 



