240 Ettingshaus en. Ableitung 



n = , oder n = i, oder w = 2 u. s. w. oder n = r — 1 

 setzt. 



Die einfachste, dieser Forderung entsprechende Form ist 



u„= n (w — 1) (n — 2) .... [w — (r — 1)]; 



es lässt sich aber leicht zeigen, dass dieselbe auch den weiteren 



Bedingungen, nämlich dass A''Wo von verschieden bleibe, und 



A''+%o» ^''"^^Wo etc. gleich Null werden. Genüge leistet. Es ergibt sich 



Am„ = n„^i — M„ 



.= (w-j-l) n(n—i) .... [w— (r— 2)] 



— n (n — 1) (n — 2) .... [n — (r — 1)] 

 = r.n (w— 1) (n—2) .... [w— (r— 2)]; 



ferner 



A3m„ = Aw„4.i — Am„ 



= r.(n+l) w (n— 1) .... [w— (r— 3)] 



— r. n (w— 1) (w— 2) .... [w— (r— 2)] 

 = r (r— 1). w (w— 1) .... [n— (r— 3)]; 



auf dieselbe Weise findet man 



A3m„ = r (r— 1) (»-—2). w (w— 1) .... [n— /*— 4)], 

 und endlich 



Ar-iu„ = /• (r— 1) (r— 2) .... 3. 2. w 

 mithin 



A»-«« = r (r— 1) (r— 2) .... 3. 2. 1. 

 Da dieser Ausdruck von n unabhängig ist, so folgt daraus 

 A''-^^u„ = 0, A''+^u„ = u. s. f. Man hat sonach auch 

 A'-Mo = r (r— 1) (r— 2) .... 3. 2. 1. 



= 1. 2. 3 (^—1) r 



und A'^+^o = 0, A'^^-'X = 0, u. s. w. 

 Hiernach gelangt man zu dem Ergebnisse 



. n (n— 1) (n—2) .... [n— (r— 1) ], 



^^ ~T 2. 3. ttt: t 



Avelches das Bildungsgesetz im obigen allgemeinen Ausdrucke für 

 u„ ausspricht. 



Bezeichnet man den Werth von Ar, um auch seine Abhän- 

 gigkeit von n ersichtlich zu machen, durch das Symbol 1^,1 wobei 

 (pj sowie Ä^J sich gleich 1 zeigt, so hat man 



U„ == Mo + (?) AMo 4- (3) /\Hlo + . . . . 



... . 4- (r) A'-Mo + + A»Mo 



