der Taylo r'scheii Formel. ^43 



und[e;z;).(:!zi).e;z?) ...... i]A^«, 



d. h. M ie man mittelst oben benutzter Eigenschaft der Grössen von 

 der Form l,.j leicht sieht, 



zwischen L,J l^'u^ und r^JA''M^. 



Lässt sich dem in der Grössenfolge Uq, Ui, u^, . . . . herr- 

 schenden Gesetze gemäss A''w„ als eine Function von n darstellen, 

 welche durch F{>i) angedeutet werde, so lassen sich obige Ausdrücke 

 als besondere Werthe der Functionen 



und (;!) F(z) 



für z = k und o = g betrachten. 



Ändert sich F (s), während s vom Werthe k zum Werthe 

 g stetig übergeht, gleichfalls nach dem Gesetze der Stetigkeit, 

 so gibt es sicher einen zwischen k und g, also um so mehr zwischen 

 und n — r liegenden Werth für z, bezüglich dessen 



ß„=(n_r + l)("7-7')l^.(s) 



oder auch 



Rn={;^)F(z) 



gesetzt werden darf, wobei natürlich der Werth von 5 im zweiten 

 Falle von jenem im ersten verschieden gedacht wird. 



Die Anwendung dieser Resultate auf die Herstellung der Tay- 

 lor sehen Formel sammt ihrer Ergänzung unterliegt keiner Schwie- 

 rigkeit. Hierüber darf ich mich hier wohl ganz kurz fassen. 



Setzt man v„ — f (x -^ nw), also u^ = f (j?) 

 wobei f (a?) irgend eine durchgehends angebbare Function der 

 Veränderlichen x vorstellt, und lässt man ntv ^^ h sein; denkt man 

 sich ferner h als eine bestimmte Grösse und die ganze Zahl n ins 



Unendliche wachsend, foglich w = — unendlich klein werdend, so 



ergibt sich auf die bekannte Weise unter der Voraussetzung der 

 Stetigkeit der Function f (x) und ihrer DifFerentialquotienten in der 

 Gegend des für x gewählten Werthes 



iix + h=f {x^ + h lim. ^1^ + -^ lim. ^-P- -V 



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