400 ßyll- Elemente 



alle Schwierigkeiten des Calcüls klar werden, und unter welchem 

 ein einfaches geometrisches System eben so natürlich als wider- 

 spruchlos zu Stande kommt. Ich kehre nunmehr zu der oben ange- 

 fangenen Erörterung zurück, weil darin der eben ausgesprochenen 

 Wahl gemäss bereits eine Raumlinie als Rechnungsgegenstand auf- 

 genommen ist. 



§. 2. Die Linie gl hat ihren Endpunkt, sowie auch die Sum- 

 mande X den ihrigen hatte. Der Endpunkt von gl erscheint nicht 

 dort, wo jener von X war — er ist offenbar versetzt. Und dieses rührt 

 von der geschehenen Operation, mithin von g dem Faktor von X her. 

 Die Zahl vermag also einen Raumpunkt zu versetzen, zwar nicht unbe- 

 dingt aber die Bedingung liegt nunmehr klar vor Augen : sobald näm- 

 lich eine Linie zum Gegenstand der Operation genommen wird. Man 

 kann dieses Object modificiren und die Leistungen der Zahl oder 

 Operation auch in dem Fall ins Auge fassen, wann nicht eine gerade 

 Linie, sondern, wann ein Raumort (Punkt) zum Gegenstand ge- 

 nommen wird. Dieses wird durch die Fähigkeit des X möglich, alle 

 Grössen einer geraden Linie vorzustellen. Wenn auch X für sich 

 einen unbeträchtlichen endlichen Werth besitzt, — durch mehr und 

 mehrmalige Hinzufügung zu ihm selbst kann man's dochzudengrössten 

 Werthen der Summe gX bringen, der Endpunkt von gX kann selbst 

 bis ins Unendliche fortgerückt werden. Er kann also jede beliebige 

 Entfernungsgrösse übersteigen. Aber gX kann auch jede beliebige 

 Grösse erreichen. Denn je kleiner X wird, desto kleiner werden 

 auch die Intervalle zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden 

 Hinzufügungen desselben, mithin desto weniger Orte in jedem Inter- 

 vall enthalten. Verkleinert man X ins Unendliche, so werden die 

 Intervalle verschwindend klein, gehen in blosse Punkte über, die 

 Menge der zwischen dem Anfangs- und Endpunkt von X enthaltenen 

 Orte ist gleichfalls verschwindend klein geworden; man kann also 

 durch die obige Operation keinen Ort mehr überspringen, d. h. man 

 trifft dann stetig jeden Grössenwerth. Zwar wird alsdann g vielleicht 

 unendlich gross werden müssen, ehe gX den Werth 1 oder irgend 

 einen anderen kleinen endlichen Werth erreicht; allein dennoch ist 

 es immer nur die Zahl g, welche die Versetzung des Endpunktes von 

 gX exhibirt und ist's die Operation, welche das, was durch die Zahl 

 exhibirt wird, bewirkt. Der durch Operation bis auf die Entfernung 

 gX stetig versetzte Punkt X kann aber durch die weitere Operation 



