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Die Umstände der Entstehung nun, und die Bedeutung dieser Function 

 sind vermöge mehrerer klaren Momente der Natur der Sache geeig- 

 net, zur Wahrnehmung einiger Grundeigenschaften von f (9) zu 

 führen. 



§. S. Bemerkt man, dass jede Lage f (6) dadurch mit Noth- 

 wendigkeit in ihre entgegengesetzte übergeht, dass man ihre Grund- 

 grösse 6 um was immer für eine ungerade Anzahl von n vermehrt, 

 so vt^ird alsogleich die erste Grundeigenschaft klar 



I. -/•(Ö)-=/[Ö±(2^ + l>], 

 worin g eine ganze Zahl sein muss; d. h. jede Lage /"(ö) geht da- 

 durch in ihre entgegengesetzte — f (6) über, dass zu der Grund- 

 grösse 9 eine ungerade Anzahl Halbkreise hinzugefügt Avird. 



Weiter. Gesetzt, zwischen den Linien 

 A,M,N,P,..., Y, Z, liegt überall der 

 Divergenzbogen oder Winkel 9, und ist n 

 mal vorhanden, weil auch die abgewichenen 

 Linien von M bis Z einschliesslich w an der 

 Zahl sind. Bezieht man die sämmtlichen 

 Lagen, um sie unter einander unabhängig zu 

 erhalten, auf die absolute Lage A, so erhält man in dieserBeziehung 

 M=Af(9);iV=A/*(29); P=^/-(39); . . .; Y= A f {{n—\)Qy, 

 Z=A f (n 9). Bezieht man aber durch Recur'sion jede der abge- 

 wichenen Lagen auf die ihr zunächst vorhergehende, gleichwie wenn 

 diese eine absolute wäre, was erlaubt sein muss, da die absolute 

 Lage keine im Räume determinirte ist, so erhält man auf gleiche Art 

 M==Af(d); N=Mf(dy, P^Nf(d);...; Y==Xf(e);Z=Y 

 f (ß}. Wird nun der Ausdruck Z=Yf(Q) durch recursive Substi- 

 tution aller vorhergehenden bis auf den ersten so transformirt, dass 

 nur A darin übrig bleibt, die Lage von Z also wieder nur auf A be- 

 zogen erscheint, so findet sich alsdann Z=A f(ß}. /"(9)./'(9). f (d) 

 . . ./'(9)=^A[/"(9)]". Und vergleicht man den ersten independenten 

 Ausdruck Z=A f (n 9) mit dem hier erhaltenen, so geht daraus A 

 [f (P)f=A f (n 9), und kürzer 



II. f (dy=f (n 9) 

 hervor. Dies ist die zweite Grundeigenschaft der Lagefunction. 



Die Gleichung II. lässt sich aber sofort auch für gebrochene 

 Werthe von n geltend machen, wodurch dann ihre Richtigkeit 

 für jeden absoluten Zahlwerth des Exponenten n in Anspruch 



