der Lagerechnung. 405 



genommen ist. Denn nennt man die aiis/'(6) j hervorgehende Grund- 

 grösse des Resultates, welches immerhin existiren miiss, vor der 

 Hand als unbekannt = u, so hat man Z' (ö) ;f =/'(w); folglich 

 ^(9)a =f(ii)ß; also auch/'(aö) =f (ßu) nach II. Und weil hier 



a 



jetzt a Ö =;?« j3 sein muss, woraus 1«= ;!" 9 sich ergibt, so hat man 

 auch III. /" (9) j = f( jd), wie behauptet worden. 



§. 6. Aus diesen Grundeigenschaften ergeben sich mehrfache 

 Corollarien. Setzt man in der Gleichung I. den besonderen Fall ^=0 

 nnd9==7r, so hat man — /'(tt) = f(2,n}. Weil aber, nach l\.f(27v) = 

 /'(-)3 ist, so kann immer f (2^^ = f (?r) ./"(^r) gesetzt werden. Man 

 hat daher —f(n) = f (:r) • /" (:r) ; folglich i) — 1 = f(7i), das ist, 

 die negative Einheit verdankt die Subsitenz ihres Begriffes derjenigen 

 Alternative der Ortsversetzung allein, welche die Lage in die Rech- 

 nung zieht, und zwar ist sie dadurch bedingt, dass die Lagegrösse 

 6=7:, d. i. ein Halbkreis wird. 



Erhebt man diese Gleichung zu allen ganzen Potenzen des Gra- 

 des^, so wird sein [ — 1]^ =: f is^}- Woraus man ersieht, dass bei 

 steigendem g die Lagegrösse ^n- wachsen, mithin die Lage sich ändern 

 muss; welche Änderung dergestalt geschieht, dass die Potenz ab- 

 wechselnd in die absolute und die dieser entgegengesetzte Lage 

 gelangt, wie nämlich g abwechselnd gerade und ungerade wird. Be- 

 zeichnet man die geraden Werthe durch =2h, die ungeraden durch 

 = 2h + 1, so erhältman + l=/'(2//7r), während — \=f[(2h + l)7r] 

 wird, welches die allgemeinen Formen für die positive und nega- 

 tive Lage sind. In der ersteren ist durch h=0 auch die absolute 

 l=/"(0) enthalten. Will man hiervon Gebrauch machen, um alle 

 beliebigen Grössenwerthe in diesen Lagen zu erhalten, so genügt die 

 Multiplication mit a, Avodurch hervorgeht -\-a=a f {21ik) , und 

 — a=a /'[(2/t-i- i)7r]. Weiter; durch Anwendung der Gleichung III. 

 erhältman in dem speciellen Falle a=l mit j3=2 und9=7r^ offenbar 



f {uy= f (|). Und weil f {k) =— 1 ist (nach i), so geht [—1]^ 



= /"( ^ j, das ist 3) y — l = /"(-|j hervor. Das ist, auch die soge- 

 nannte imaginäre Grössenform hat zur Bedingung ihrer Subsistenz die 



