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und dabei die Coefficienten der Potenzen auf die einfachste Gestalt 

 bringen. Bezeichnen wir die Bogenlänge mit z, so sind die vier zu 

 unserm Gebrauch erforderlichen Formeln folgende : 



1111 1 



1. SmZ=Z 7;Ä^ + T^S5- ' " " ' 



6 120 5040 362880 39916800 



1 1 



;g^^— .o»^..^,o.^ Z^^ + .. 



6227020800 1307674368000 



. ^ 1 , 2 ^ 17 , 62 9 1382 ,, 



tangs = z + 5-S3+ -s5 + 2,7 + ." + --—211 + 



43688 ,, 929569 ,, 



12162150 638512875 



1 . , 3 . , 5 . , 35 . „ 



s = sms + - sin% + 7-- sm% + tttt sm^» + ^rr^ sin ^2 

 6 40 112 1152 



63 . ,, 231 . ,, 143 . ,, 



2816 13312 10240 



4. z = tgz — ^ tg^z -)- g tg 53 — - tg 's + g tg 9»— — tg i's + 



:ltgl32-^tgl^2+... 



Soll die verlangte Grösse (Function oder Bogen) durch die 

 Entwickelung nur weniger Glieder der entsprechenden Formel schon 

 einen hohen Grad der Genauigkeit erreichen, so muss sich in den 

 Werthen der auf einander folgenden Glieder die Anzahl der Nullen 

 hinter dem Decimalzeichen schnell vermehren. In der Formel 1. 

 trägt hierzu die rasche Werthabnahme der Coefficienten wesentlich 

 bei, was bei den übrigen drei Formeln weit weniger der Fall ist. 

 Bei diesen drei Formeln muss demnach hauptsächlich die schnelle 

 Werthabnahme der angezeigten Potenzen in Betracht kommen, daher 

 z ein kleiner Bogen oder Winkel sein. 



Da ich bei meinen theoretischen Untersuchungen oft in die 

 Lage kam, die Schärfe der Werthe für die Winkeibis zur 10. Deci- 

 male der Secunde auszudehnen, so gelangte ich durch mühsame 

 Erfahrungen, wobei ich mich verschiedener Methoden bediente, 

 endlich zur Überzeugung , dass es im Allgemeinen am vortheil- 

 haftesten sei, jeden gegebenen oder zu bestimmanden Winkel . zu 

 theilen, nämlich in zwei Winkel, wovon der erste (a) die ganzen 

 Grade, und der andere (6) als Ergänzungswinkel die Minuten und 

 Secunden sammt ihrem Decimalbruche enthält. Ist der Ergänzungs- 

 winkel (&) grösser als 30', so kann man dessen Complement auf 1", 

 somit für(«)den nächst grösseren Winkel in ganzen Graden nehmen. 



