I. Die Flächen F* mit Doppelkegelschnitt und ihre 16 Greraden. 



Der Gesichtspunct, den ich für die Betrachtung der Curven 4ter Ordnung mit 2 Doppel- 

 puncten und der Flächen F* mit einer Doppellinie 2ten Grads A^ im 5. Bande dieser Ab- 

 handlungen (VI. Folge) aufgestellt habe, ergab sich naturgemäss aus der Polarentheorie. Das 

 Wesen dieser Auffassung besteht darin, dass eine F* als durch eine gewisse quadratische 

 Transformation in sich selbst übergeführt erscheint. 



Zum Verständniss des Folgenden genügt es, die Berechtigung einer solchen Auffassung 

 in Kürze auf eine andere Weise darzuthun; ich werde dabei nur wenig von der früher ge- 

 brauchten Bezeichnung abweichen. 



1. H^ sei eine Regelfläche 2ten Grads, a ein Punct ausserhalb derselben, und a* der 

 Schnitt von H^ mit der Polarebene 21 von ff. Weist man einem beliebigen Puncte r denjenigen 

 Q ZU, welcher auf ar liegt und von ?• durch die Fläche H'' harmonisch getrennt wird, so 

 erhält man eine quadratische Transformation (rp) des Raumes, deren Centrum ff, deren 

 Ordnungslinie íř* ist. 



Hierauf lasse man die Paare r, q den Ebenen E des Raumes in umkehrbar ein- 

 deutiger Weise also entsprechen : Wegen der Lage von ?•, q werden die beiden Kegel, welche 

 aus diesen Puncten die Linie a* projiziren, sich in einem Kegelschnitt i- auf H'^ durch- 

 dringen; die Ebene von 6* ist dann E. 



Wenn nun umgekehrt iP mit irgend einer Ebene E in b'' schneidet, und mit r, p die 

 Spitzen der Kegel bezeichnet, welche durch a^ und 6^ sich legen lassen, so fallen bekanntlich 

 r, Q auf einen Strahl von ff — der zu der Schnittlinie E2 conjugirt in Bezug auf E" ist — 

 und es ist auch r von q durch H'^ harmonisch getrennt. Dabei zeigt sich, dass der Pol ff^ 

 von E in Bezug auf H^ in Gr liegt und von ff durch r, q harmonisch getrennt ist. 



Dreht sich die Ebene E um einen Punct p, so beschreibt r, g eine Fläche 2ten Grads 

 P'', welche durch a'^ geht, und in Bezug aufweiche p, 2 Pol und Polare sind. Beschreibt daher 

 E einen Büschel, dessen Axe die Gerade pp^^^e ist, so durchlaufen r, q den Kegelschnitt e', 

 welchen die Flächen P^, Fl noch ausser a^ gemein haben. Weil die Ebene des e* die Pole 

 ff^ der Ebenen E enthält so muss ihr Pol in Bezug auf H"^ in e sein, und weil diese Ebene 

 durch ff geht, muss dieser Pol auch auf £ liegen, er ist somit der Schnittpunct t von e, 2. 



Ist Po ein Punct von fi*, so wird Fl der Kegel, welcher a* aus Po projizirt. Denn 



1* 



