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abhängig von einander sind, wird später erörtert werden; zunäclist bildet er die Grundlage 

 der Untersuchung über: 



Das gegenseitige Verhalten der 16 Geraden. 



3. Unter einem Ger adenpaar sind zwei sich schneidende der 16 zu verstehen. 



Da jede Gerade von 5 andern geschnitten wird, unter welchen kein Paar ist, so 



liegen niemals drei Geraden in einer Ebene, und es existiren =: 40 v e r- 



schiedene Paare. 



o) Durch zwei windschiefe Geraden a, h sind zwei andere c,, d.^ bestimmt, welche 

 sowohl a als auch h treffen, und deshalb die Transversalen von a, h heissen; a, h 

 sind alsdann die Transversalen von c,, d^-. Das durch «", a, h mögliche Hyperbo- 

 loid hat mit F* noch einen Ort zweiter Ordnung gemein; durch einen Punkt x desselben, 

 welcher auf keiner der Linien a^, a, h liegt, geht eine Transversale über a^, a, 6, welche, 

 da sie 5 Puncte mit F^ gemein hat, unter den 16 sein muss. Jener Ort zweiter Ordnung 

 besteht mithin ans 2 Transversalen von a und h. 



h) Wird noch eine Gerade c angenommen windschief zu a und b, so können diese 

 drei abc höchstens eine und zwar, wenn es überhaupt möglich ist, nur eine der beiden q d^ 

 zur Transversale haben. Dies ist nun in der That so, denn das Hyperboloid abc hat mit 

 dem in a) benutzten ausser a, b noch 2 Geraden gemein, wovon die eine der c auf dem 

 Kegelschnitte «- begegnet, die andere somit 5 Puncte der F* enthält. Diese letztere nun 

 soll mit dj^ bezeichnet werden, und die beiden Geraden, welche ausser abc noch d^ treffen, 

 heissen ď, ä^. 



d) Das Quadrupel Q. 



Fasst man eine Gerade d auf, die zu a, b und c windschief ist, so können vier solche 

 Geraden höchstens eine Transversale besitzen. Aus diesem Grunde können die vier auch 

 nicht hyperboloidisch liegen, da unter dieser Voraussetzung die in «) gebrauchte Schluss- 

 weise auf 4 Transversalen führen würde. Sollen aber abcd eine Transversale — unter den 16 — 

 haben, so muss diese d^ sein, weil es für abc keine zweite gibt; dann muss d entweder mit ó 

 oder ďj^ einerlei sein. 



Kann demnach eine zu «6c windschiefe, von ů, ó^ verschiedene Gerade d gefunden 

 werden, so haben abcd keine Transversale auf F*. Eine solche d ist nun offenbar die Ti'ans- 

 versale, welche d, d\ ausser fZj noch besitzen, denn würde sie z. B. a treffen, so hätten aoa^ 

 zwei Transversalen. Indem wir also diese Transversale mit d bezeichnen, so haben abcd die 

 Eigenschaft, dass die Transversalen von je dreien aus dieser Gruppe mit der vierten wind- 

 schief sind, wir nennen abcd ein Quadrupel Q. Die hier auftretenden 4 Transversalen 

 seien mit Oj, ^i, Cj, á^ bezeichnet, je nachdem sie beziehlich windschief zu «, b, c, d sind. 

 Da dann «, 6, c, d als Transversalen von je dreien «,, ^i, «i, d^ erscheinen, so liegt in letztern 

 ein neuer Quadrupel Q^ vor. 



Die 12 von den Q verschiedenen Geraden lassen sich jetzt leicht überblicken : Da die 

 Transversalen von zwei beliebigen der Q in Q^ vorkommen, so existiert unter den übrigen 8 

 keine Gerade, welche mehr als eine der Q schneidet. Nun wird a von 5 Geraden getroffen, 

 von welchen 6,, c,, d^ drei sind, bleiben zwei a, «j, und diese müssen unter den 8 sein. 



