gemein haben; denn andernfalls müssten drei Geraden von X in Q'Qi' vorkommen. Wären 

 diese in dem nämlichen Theil des Doppelquadrupels, so wäre X identisch mit diesem, könnte 

 folglich «1 nicht enthalten. Gehören die 3 Geraden zu verschiedenen Theilen, so sind sie nicht 

 zu je zwei windschief. Gesetzt, X enthielte «j, &i; dann muss Y oder Z die Geraden q, d^ 

 enthalten. Denn das Quadrupel, in welchem c^ liegt, darf mit X keine Gerade gemein haben, 

 wenn die verlangte Vertheilung überhaupt möglich sein soll. Kommen nun q, d^ in Y vor, 

 so darf Z aus dem eben angeführten Grunde keine Gerade von Q^ enthalten, folglich muss Z 

 entweder Q' oder Q/ sein. 



Es folgt zugleich: Wenn ein Quadrupel mit dem beliebig angenommenen 

 a, b^c^ d^ nur eine Gerade a^ gemein hat, so muss es auch eine Gerade von 

 ab cd enthalten, und diese kann keine andere als a sein. In der That hat jedes 

 Quadrupel, in welchem a, «, sind, weder eine Gerade in Q, noch in Q^, ausser a, a^. 



Nachdem wir erwiesen, dass entweder 



1) Z=Q oder 2) Z=Q^', 



so nehme man etwa 1) an. 



Alsdann gebe man X die Geraden a^, 6^. Zu diesen sind in Q^' nur zwei windschief, 

 nämlich y^, ů^ ; und diese liefern auch ein Quadrupel «i^i^'^i^ : Denn die Transversale d — 

 über a^i>jC, — schneidet dj, oder was auf dasselbe hinausläuft, die Transversale über alb^ů^ 

 schneidet c^, mithin y^ nicht und deshalb ist ai&idiJ'i ein Quadrupel. Hiernach ist klar, dass 

 F^ Cjrf, a^/Sj, und wie die Vertheilung der 12 Geraden auf 3 Quadrupel geschehen kann 

 und muss. 



4. Die Geradenpaare und ihre Anordnung in 5 Systeme @. 



a, a sei irgend einer der 40 möglichen Geradenpaare. Es gibt — ausser a — 4 Ge- 

 raden, die a, und ebenso 4, die « treffen, die übrigbleibenden 6 sind also windschief zu a und a, 



h sei eine dieser 6. Nach Abzug der beiden Transversalen über h, a, der beiden 

 über b, a, bleibt noch eine Gerade ß, welche b schneidet, aber weder a noch a trifft, mithin 

 zu jenen 6 gehört. Man sieht hieraus, dass durch ein Paar a, « drei andere b, ß; c,y; d, d 

 bestimmt sind, so dass von diesen 4 Paaren jedes gegen die 3 andern windschief ist. Vier 

 solche Paare bilden deshalb eine unzertrennbare Gruppe I. 



Ist dl die Transversale von a, b, c, so muss d^ entweder d oder d treffen, da die 

 zu d, d windschiefen 6 Geraden mit d, d selbst die Gruppe I ausmachen. Indem wir d als 

 die von d^ geschnittene Gerade annehmen, liefern nach 3) abcd ein Quadi-upel Q. 



Analoger Weise muss die Transversale ů^ über ceßy entweder Ů, oder d treffen. Fände 

 aber ersteres statt, so wäre aßyd ein Quadrupel, welches mit Q die einzige d gemeinschaftlich 

 hätte. Dann aber müsste gemäss der in 3) hervorgehobenen Folgerung d^ sich unter aßy 

 befinden, was nicht möglich ist, da keine dieser 3 Geraden zwei der abc schneidet. Wenn 

 somit dj und d sich treffen, so ist aßyS ein Quadrupel Q'. 



Ergänzt nun Q^ ^ «, b^c^d^ das Quadrupel Q zum Doppelquadi-upel, so liegen die 

 ausserhalb QQi befindlichen 8 Geraden auf einem Doppelquadi'upel. Von diesem muss mithin Q' 

 der eine Bestandtheil sein; Q^' ^ <Xißiyi^i ist der zweite. Es ist aus 3) klar, dass die Paare 

 a^«!, 6)/3i, c^y^, d^ó^ eine neue Gruppe II liefern, die man als durch I schon gegeben an- 

 sehen kann, und insofern als Ergänzungsgruppe von I betrachten wird, als I und II sämmt- 



