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liehe 16 Geraden umfassen. Zwei solche Gruppen bilden ein System ® von Paaren. Auf 

 diese Weise lassen sich alle 40 Paare in fünf verschiedene Systeme unterbringen. Insofern 

 eine bestimmte der 16 Geraden mit 5 andern gepaart ist, gibt sie Anlass zu 5 verschie- 

 denen Gruppen, die jede in einem der 5 Systeme auftritt. 



5. Die 5 Kummerschen Kegel (ff). 



Die 8 in einem ® vorkommenden Paare sind in 8 Ebenen enthalten, - 

 welche alle durch denselben Punct ff gehen. 



Der Beweis beruht auf folgendem Satze: 



Hat man zwei Büschel (T^), {Z^) von Flächen 2ten Grades, von welchen der eine die 

 Kegelschnitte a^, 6-, der andere a*, c* zur Basis hat, so enthalten die Ebenen FZ, auf welchen 

 sich irgend zwei Flächen T-, Z"- durchdringen, einen festen Punct ff: 



Eine solche Ebene Y^ Z^ schneide die Ebene B des h"^ in der Geraden b^ und die 

 Ebene C von c^ in c^ ; 6 sei der Schnittpunct von h^c^ ; er liegt auf der Schnittlinie BC. 



Sind y-, Z'^ zwei beliebige der Flächen so, gehen Z\, Z'^ durch a^ auf der Fläche Y] 

 und durch c^ ausserhalb Y\ ; folglich schneiden sich die Ebenen Z.^ Z, , ZY^ in einer festen 

 Geraden von (7, d. h. in c^ ; also hat ZY^ mit B eine durch ff gehende Gerade h gemein. 

 Die Flächen Y\^ Y gehen durch a- auf Z und durch &^ ausserhalb Z; folglich müssen die 

 Ebenen ZY, ZY^ sich auf der Ebene B durchschneiden also in ö, und es geht YZ durch ff. 



Jedes Paar der Gruppe I wird von jedem der II geschnitten, daher liegen 2 Paare 

 aus verschiedenen Gruppen stets auf einer durch a^ gehenden Fläche 2ten Grads. Setzt man 

 demnach b'^^b, ß, c"^ ^ c, y\ und nennt 5, C, A^^ B^^ C^, D^ die Ebenen der Paare 

 6, /Í; c, y, fli«!, etc.; so schneieen sich dem Satze zufolge diese 6 Ebenen in einem Puncte ff, 

 und wenn man dann etwa a, «; c?, ď die Rolle von 6/Í, cy zuweist, so ergibt sich die oben 

 aufgestellte Behauptung. 



Nach 2. wurden die Paare b, ß ^ 6*, c, y := c'' durch 2 Geraden «j, e^ von Q'^ ge- 

 liefert. Schneidet eine variable Gerade e der Fläche Q' diese e,, 65 in ?/, s und heissen 

 Y^, Z^ die diesen Puucten zugeordneten Flächen, so sind diese in den Büscheln («", 6*), 

 {a^, c*), und durchdringen sich in e^ auf F*, d. h. F'^ wird durch diese projectivisch auf ein- 

 ander bezogene Büschel erzeugt. Dabei geht die variable Ebene E des e- stets durch ff, und 

 schneidet F* in einem zweiten Kegelschnitt e;, welcher zu der Geraden e^ von Q^ gehört, die e 

 auf der Ebene 2 — in ? — triift. Die Ebene E ist Polarebene von ^ in Bezug auf fi*, und 

 umhüllt deshalb einen Kegel 2ten Grads (ff). Zugleich berührt E die F* doppelt, nämlich in 

 den Puncten r, p, die der Ebene ee^ ^ R zugewiesen sind, und sowohl in e'^ als ej liegen 

 müssen. 



Die 5 mit einer bestimmten Geraden a gepaarten liegen in 5 durch a 

 gehenden Ebenen, und in jeder von diesen liegt eine Spitze ff von einem 

 der F* doppelt umschriebenen Kegel 2ten Grads. 



Der Ort des Punctes ? ist g'", der Schnitt von Q- und 27, die Ebene ee^ ist Tan- 

 gentialebene von Q^ im Puncte f, also gehen diese Ebenen ee^ durch einen festen Punct Z 

 den Pol von 2 in Bezug auf Q^, und ihre Punctepaare r, p liegen zugleich auf H^ und der 

 Fläche Z^ : mithin auf einer Raumcurve 4ter Ordnung ff*. 



