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6. Der in der vorigen Nummer aufgestellte Satz über die Büschel (a-, 6"), («-, r^) 

 führt unmittelbar zu der Consequenz, dass diese Büschel auf jedem Strahl des fixen 

 Punctes ff identische Involutionen./ ausschneiden. Die D op p elpunctc 

 dieser J haben alsdann zum Ort eine Fläche 2ten Grades IP. 



Beweis. Y] sei dem einen Büschel entnommen, und werde von einer beliebigen durch 

 ff gehenden Ebene Y in y" geschnitten. Es leuchtet sofort ein, dass die Flächen des Bü- 

 schels (a°, y") dieselben j ausschneiden, da eine solche j bestimmt ist durch ein Paar, wovon 

 der eine Punct ff ist, der andere in der Ebene von a- liegt, und durch ein zweites auf Y'\. 



Wird hierbei Y variabel gedacht, so liegen die Spitzen der Kegel, welche zugleich 

 a- und y- enthalten, auf einer Fläche i?^. Jeder Strahl von a durchdringt R- in zwei Puncten 

 r und p, die, wie man sieht, die Doppelpuncte der auf diesem Strahl auftretenden ; sein 

 müssen. Nach dieser Vorbemerkung lässt sich zeigen, dass die Tangentialebenen 

 der 5 Kegel (ff) die einzigen Bitangentialebenen von F* sind. 



Gesetzt B sei eine Bitangential ebene, sie enthält zwei Kegelschnitte von F*, etwa h- 

 und e-; diese schneiden sich auf a- und überdies in 2 Puncten ?•, p, den Berührungspuncten 

 von 5, F*. 



Durch a', e" lege man eine Fläche Z-, so wird dieselbe einen Kegelschnitt c" aus F* 

 schneiden, dessen Ebene C offenbar vq enthält — als Schnittpuncte von ö^ und e'. Mit Hülfe 

 der hier aufgestellten Büschel («-, &-), (a-, c") lässt sich F* projectivisch erzeugen, und es 

 werden die Ebenen, auf welchen sich homologe Flächen Y-, Z^ durchdringen, nach 5. einen 

 festen Punct ff der Geraden rq enthalten und einen der F'^ doppelt umschriebenen Kegel (ff) 

 umhüllen. Um die letztere Aussage zu rechtfertigen, stelle man sich eine Ebene F vor, 

 welche a- in cc, x^^ b- in y, y^, c" in z, % schneidet, dann sind in F zwei projectivische 

 Kegelschnittbüschel (xx^ yy^), {xx^ zz{) zu denken, deren Erzeugniss eine C* der F* sein 

 wird. Alsdann müssen die Geraden, welche die construirten Punctepaare der C* tragen, be- 

 kanntlich einen Kegelschnitt berühren. 



Zieht man von ff an alle Flächen Y- oder Z^ Tangenten, so tritt H"^ als Ort ihrer 

 Berührungspuncte auf. Bestimmt man ferner von ff in Bezug auf die Kegelschnitte e^, in 

 welchen F* von je zwei homologen Flächen Y-, Z- geschnitten wird, die Polaren, so erzeugen 

 diese eine Regelfläche S\ ; denn die Polarebenen von ff in Bezug auf die Y- und Z" drehen 

 sich um 2 feste Geraden, und sind einander projectivisch zugewiesen. In jeder Ebene durch 

 ff und e* befindet sich noch ein Kegelschnitt e\ von F*, welcher e- auf a" und sonst noch 

 in 2 Puncten )•, q schneidet, deren Verbindungslinie durch ff geht. Die Polaren von ff in 

 Bezug auf e- und e\ treffen sich in ff', der von ff durch r, q harmonisch getrennt ist; sie 

 sind Geraden der S\ von verschiedenen Schaaren, jede schneidet H- in den beiden Puncten, 

 wo sie respective e^, e\ begegnet. Wenn es sich ereignet, dass diese beiden Puncte für ein e^ 

 Zusammenfallen, so existirt von ff an e- nur eine Tangente, d. h. e- zerfällt. Die Fläche S"^ 

 enthält aber acht Geraden — von jeder Schaar 4 — welche H- berühren. Mithin treten unter 

 den e- 8 Geradenpaare auf, die in 2 Gruppen von 4 Paaren geordnet sind derart, dass je 

 2 Paare derselben Gruppe windschief sind, während jedes Paar der einen Gruppe auf jedem 

 der andern aufsteht. 



