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Da es, wie wir bewiesen haben, auf F* nur 5 diiferente Systeme solcher Gruppen 

 gibt, so existiren auch keine andere doppelt umschriebenen Kegel, als die uns jene Systeme 

 lieferten. 



7. Zusammenhang der 5 Kegel: 



"Wir fanden (v. Band V der Abh.) die 8 Doppeltangenten einer C* in 4 Paare an- 

 geordnet und bezeichneten mit ff, e', ff", ff'" die Schnittpuncte von je einem Paare, dabei - 

 zeigte sich, dass von ff 4 einfache Tangenten an die C* gehen, deren Berührungspuncte wir 

 r, ,T2,r3,T4 nannten. Die Paare gebenüberliegender Seiten des Vierecks z-^t^t^r^ schneiden sich 

 in ff', ff", ff'". Legt man hiernach durch 2 der Puncte, ff, ff, , ffj, ffj, a^ etwa durch ff, ff^ Ebenen, 

 se schneiden diese gewisse C^ aus F*. Die Raumcurve i*, welche H'^ und S\ gemein haben, 

 wird durch eine solche Ebene in 4 Puncten t^, t„, To, r^ geschnitten, so dass ffr einfache 

 Tangenten der C" sind. Also gehen durch ff^ die Verbindungslinien zweier Paare der vier t, 

 etwa T^rj, t^t^. Dreht sich demnach die schneidende Ebene um ffffj, so erkennt man, dass a^ 

 die Spitze eines der Kegel 2ter Ordnung ist,^ welche die i* enthalten. Ein Gleiches gilt von 

 ''ai ^31 '^i\ das heisst: ff^, ffo, ffj, ff^ formiren das conjugirte Quadrupel der 

 Flächen Ä-, E\ — die letztere Fläche hiess in der citirten Abhandlung des 5. Bandes S—, 



Die Eaumcurven ff* (a. a. Orte V.) 



Am Schluss der Nr. 5 ergab sich, dass die zu ff gehörende ff* die Durchdringung 

 von -f* mit einer durch a" gehenden Fläche Z" darstellt. Diese Z- ist der Ort der Paare ?•, q 

 für alle durch den Punct z gelegten Ebenen R, und z ist der Pol von 2 in Bezug auf 2^, 

 oder Z'' ist dem Kegel z(a-) längs a^ umbeschrieben. Dieser Punct s, welcher auch Pol von 

 2? in Bezug auf Q- ist, hängt jedoch, was seine Lage betrifft, nur von F* selbst ab. 



Legt man nämlich durch die Tangenten von a" je ein Paar Tangentialebenen an Q^ 

 und verbindet deren Berührungspuncte, so muss jede solche Verbindungslinie durch z gehen ; 

 d. h. z ist von 2 durch ein solches Paar Ebenen harmonisch getrennt. 



Wir haben schon früher bemerkt, dass ein solches Ebenenpaar durch eine Tangente 

 von «^ gehend, die beiden durch diese möglichen Tangentialebenen der F* für ihre beiden 

 in a- sich durchsetzenden Mäntel sind, werden indess noch einmal näher hierauf eingehen. 

 Die Bestimmung des Punctes z ist demnach ganz unabhängig von der Fläche Q", und wir 

 können von allen andern Eaumcurven ff*, ffi etc. aussagen, dass durch jede und a- 

 eine Fläche 2ten Grads Z- bestimmt ist, die dem Kegel z{a-) längs a- umbe- 

 s ehr i eben ist. 



Hieraus folgt sodann leicht, dass man irgend 2 der Piamcurven ff*, etwa ff*, ff^ als 

 Grundcurven zweier Büschel 2ten Grads annehmen kann, um mittels derselben die F* pro- 

 jectivisch zu erzeugen. 



Da aber der Kegel (ff) als Fläche in dem einen Büschel auftritt und -f* längs ff* 

 berührt, so muss die ihm zugewiesene Fläche (p- im Büschel (ff|) durch ff* gehen, mit an- 

 dern Worten: je zwei der 5 Raum cur ven ff* liegen auf einer Fläche 2 ten Grads 



Im Allgemeinen ist ein Punct des a" Biplanarpunct von F*, doch sind auf a- 4 Uni- 

 planarpuncte (Wendepuncte bei Clebsch) 1, 2, 3, 4 auf a-. Es sind die Berührungspuncte der ge- 

 meinschaftlichen Tangenten von a" und q-\ und durch sie gehen sämmtliche Eaumcurven ff* 

 (conf. Band V.). Beachtet man, dass ff* und ff* auf 9- liegen, so ergibt sich, dass ff*, ff^ sich 



