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in 4 anderen Puncten 1' 2' 3' 4' einer Ebene X treffen müssen. Wir werden jetzt zeigen, dass 

 diese Ebene X mit der Ebene S von 12 3 4 coinzidirt, dass demnach 1' 2' 3' 4' unendlich 

 nahe der Gruppe 12 34 sind. 



Durch einen Kegelschnitt K"- des Büschels (12 3 4) und <y*, g\ lassen sich 2 Flächen 

 2ten Grads resp. i/»", i>'\ legen; variirt dabei jener Kegelschnitt Ä"", so erhält man zwei pro- 

 jectivisch aufeinander bezogene Büschel {i>-) "7^ (S>\)- Das Erzeugniss dieser Büschel besteht 

 offenbar aus Z, ferner einer Ebene X durch 1'2'3'4' — indem rp", ri)\ ausser K- noch einen 

 Kegelschnitt K], der 1'2'3'4 enthält, gemein haben — endlich aus der den Büscheln gemein- 

 samen Fläche (p-. Nun muss X der 2 aus dem Grunde unendlich nahe liegen, weil bei der 

 Annahme a-^K^ man statt i^* die Z*, statt il>\ die Z\ erhält, zwei Flächen, welche nach 

 dem Obigen den Kegel za^ längs a- berühren, sich also in zwei zusammenfallenden Kegel- 

 schnitten a-, a\ durchdringen, von denen a\ in X fällt. Wir schliessen demnach, dass je 

 zwei der Curven ff* sich in den 4 Uniplanarpuncten der F* berühren. Auch 

 bemerkt man, dass zwei homologe Flächen i\)-, il>'\ sich längs K"^ berühren müssen. 



8. Die Curven g* gehören zu einer oo* Schaar von Curven s*, längs 

 welchen F* von Flächen F^ berührt wird. 



Man kann, wie gesagt, F* projectivisch durch 2 Büschel von F- erzeugen, wovon der 

 eine ß* zur Basis hat, der andere irgend eine der 4 andern at. Wenn daher Fl beliebig 

 durch G* gelegt wird, so schneidet sie aus F* noch s^, so dass auch durch .s* und et eine F- 

 geht. Somit hat man auch in ö*, s* die Basen zweier zur Erzeugung der F* dienlichen Büschel. 

 Weil aber in dem einen die Fläche Fl selbst ist, so folgt wie unter 7., dass der Fl im andern 

 eine Fläche homolog sein muss, die F* längs s* berührt. 



Die Raumcurve a* gehört ferner zu einer oo* Schaar von Curven 

 4ter Ordnung der F*, welche sämmtlich aus ß durch Kegel 2'™ Grades pro- 

 jlzirt werden und längs welcher F* von einer Fl mit 2 Doppelpuncten be- 

 rührt wird. 



i?o sei eine Ebene, welche aus Q", H"^ die Kegelschnitte p-, pl schneidet, r^, Qq seien 

 die Spitzen der beiden Kegel, welche n^, pl in einander projizii-en. Die Flächen P-, welche 

 den Puncten p von p''' zugewiesen sind, gehen alle durch r^, q^. und werden von einer F\ 

 eingehüllt, die a^ zur Doppellinie, í-q, q^ zu Doppelpuncten hat. 



Jedem Puncto p von p- entspricht P-, welche durch die Kegelschnitte e-, e\ von F* 

 geht, die den in jj sich schneidenden Geraden e, e^ von Q- entspi-echen. Aber je zwei Flächen 

 P;, PI schneiden sich in einem der Geraden pj Pa entsprechenden Kegelschnitt fc-, dessen 

 Ebene Ä" die Polarebene des Durchstosspunctes von PxP^ und Z ist in Bezug auf íř"; daher 

 liegen »-q, Qo in ^- Berührt PiP^ den p* etwa in pi, so wird fcj die Schnittlinie zweier un- 

 endlich nahen in PI vereinigten Flächen. Der Ort von kl ist sodann die Enveloppe der P"; 

 er ist leicht projectivisch zu ermitteln. Zu dem Ende nehme man zwei feste Tangenten von p* 

 an I, II und schneide sie in ty, t^ durch eine variable Tangente. Wenn die den I, II ent- 

 sprechenden Kegelschnitte &', kl sind, so wird die Fläche Tl dem Büschel (a-, fcj), Tl dem 

 Büschel (a-, kl) angehören, und T^, Tl durchdringen sich in fc^, welcher der Geraden t^ t„ 

 entspricht. Da nun (TD -j^ (Tl), so beschreibt fc^ eine Fläche PJ, wie sie vorher näher definirt 

 wurde. Jede P* berührt PJ längs fc-, welche der Tangente von p" im Puncte jj entspricht. 



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