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Diese Tangente liegt in der Ebene ee^, der das Paar r, g zugewiesen ist. Mitliin fällt r, p 

 auf k-, und da e\ e\ durch r und p gehen, aber auch auf P^ liegen, so berührt P- die P* 

 in r, p. Durchläuft endlich p die i>-, so dreht sich die Ebene ee^ um einen festen Punct j, 

 den Pol von R^ in Bezug auf Q^ folglich ist der Ort des Paares r, p die Raumcurve 4'" Ord- 

 nung, in welcher die durch a- gehende 3"- die P* noch durchdringt. 



Um das Verständniss des Vorstehenden möglichst unabhängig von einer früheren Ent- _ 

 Wickelung zu machen, möge die Bestimmung der Tangentialebenen von P* in den gepaarten 

 Puncten r, q gegeben werden, r, q sei erhalten durch die Ebene P ^ eej — welche die Ge- 

 raden e, ßi von Q2 bestimmen. — Die P- für den Schnittpunkt p von e, e^ schneidet aus P* 

 die Linien e^ e[, auf welchen r und q liegt, und berührt P* in r, q. Es handelt sich daher 

 um die Tangentialebenen von P^. 



Trifft e die Ä' in Po.Pq, so sind dies nach 1. die Spitzen zweier zugleich durch n", e^ 

 gehenden Kegel, folglich fällt der Pol von E in Bezug auf P^ in die Gerade e, etwa nach i) ; 

 ebenso liegt der Pol von E^ — in welcher Ebene e\ ist — auf e^ in p^. Daher sind »-pp,, pppi die 

 gesuchten Tangentialebenen. Was die Lage der Puncto p, pi gegen p betrifft, so ist leicht darzu- 

 thun, dass p von p durch p, p' harmonisch getrennt wird, und dass demzufolge pp^ einerlei ist 

 mit der Polare ven p in Bezug auf die in der Ebene ee^ aus H^ geschnittene Linie 2'^° Grades. 

 Jene harmonische Trennung bedeutet aber, dass p, p zu der Involution j gehören, die vom 

 Büschel (P^) = (a^, e^) auf ^'p bestimmt wird. Diese j hat zu Doppelpuncten die Kegelspitzen 

 Po-, Pa'i ßines ihrer Paare besteht aus den Puncten a, e, der Ebenen 2?, P; ein zweites liegt 

 auf P"-. Weil wegen der Definition von p, p das in P^ liegende Paar der j sowohl p von a, 

 als p von e harmonisch trennt, so hat man in p, p wiederum ein Paar von j, wie man sofort 

 sieht, wenn man durch Projection die j auf einen Kegelschnitt überträgt. 



Durch Anwendung unserer Construction zeigt sich der biplanare Charakter eines Doppel- 

 punctes X von a^: Das Paar r, p, von welchem x der eine Punct ist, befindet sich auf dem 

 Strahl 6x und die Ebene P, von welcher es herrührt, muss die S in der zu ex in Bezug 

 auf fi' conjugirten Geraden schneiden, und Tangentialebene von Q^ sein. Die Conjugirte zu sx 

 ist die Tangente xt von a^, und durch xt gehen zwei Tangentialebenen der Q*, die als R 

 auftreten. Berührt eine dieser P in ^ die Q* und schneidet sie H- in fc^, so wäre die Polare 

 von p in Bezug auf fc^ mit x durch eine Ebene zu verbinden, wodurch offenbar die benutzte 

 R selbst entsteht. 



Verlegt man x in einen der Puncto 1, 2, 3, 4, wo die Tangente von a^ ebenfalls Q* 

 berührt, so erhält man nur eine P, die Tangentialebene des Kegels z{a"). (v. 7.). 



Wir fanden (6.) eine Eegelfläche 2^\ als Ort des Punctes <?', der von 2 durch ein 

 variabeles Paar r, p der P* harmonisch getrennt wird. Sie ist gemäss der einleitenden Be- 

 trachtung die Polarfigur von Q^ in Bezug auf IT- und schneidet BP in i*, auf welcher die 

 Berührungspuncte aller einfachen von a an P* möglichen Tangenten liegen. Diese t* hat 

 8 P u n c t e ^ mit Q^ gemein, d u r ch w e 1 ch e die 8 Geraden e^. . . e^ von Q* gehen, 

 die zur Bestimmung der 16 Geraden von P* führten. 



Indess wird es für die Folge von Nutzen sein, die acht e auf eine neue Art zu be- 

 stimmen, und zwar, sie durch eine Hülfsfläche direkt aus Q- zu schneiden: 

 J7^, Q^ durchdringen sich in einer Raumcurve P', deren Tangentenfläche — 8'" Ordnung — 



