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Q* iu der doppelt zu zählenden R* und einem Ort S'" Ordnung schneidet, welcher, wie leicht 

 zu begreifen, in die e zerfällt. 



9. Die F,f mit / Doppelpuncten Z), und ihre Geraden. 



o) Wenn H-, Q- sich in einem Puncte öi berühren, so wird*) D, Doppelpunct von FJ, 

 natürlich auch Doppelpunct der R*, deren Tangentenfläche jetzt 6*" Ordnung ist. Letztere 

 schneidet Q- iu 4 Geraden e, die paarweise verschiedenen Schaaren angehören, und der adop- 

 tirten Bezeichnungsweise conform e^, e. ; e^, e^ heissen mögen. Sie liefern 4 Ger aden- 

 paare der Fl: c, y; c/, d; q, y, ; d^, ö^, welche ein Doppelquadrupel bilden. 



Zum Beweise beziehe ich mich auf Fig. 1., zu deren Motiviruug die 2. Anmerkung 

 dient. Man erkennt als Transversale der 3 windschiefen cc^d die Gerade y^, zu der ebenso 

 wie zu jenen á^ allein windschief liegt. Folglich ist cqdd^ ein Quadrupel und dieses wird 



dd^yy^ 



Ermittelung der andern 4 Paare: 



Durch D^ gehen 2 Geraden Cj, e^ der Q" und berühren hier H-. Jede derselben ver- 

 tritt auch die ihr unendlich nahe (benachbarte), be- 

 ziehlich «3, e^. Denn jede Ebene durch e^ schneidet R* 

 in zwei Puncten, Q- in zwei durch dieselben gehenden 

 Geraden, die beide sich mit e, vereinigen, wenn die 

 um e, sich drehende Ebene e^ aufnimmt. Während nun 



durch dd^yy^^ zum Doppelquadrupel 



ergänzt. 



e,2 das Paar a^, «^ liefert, gibt die benachbarte e^ ein 

 windschiefes h^, /3j, wobei a^ unendlich nahe bei h^, «^ 

 bei /3| zu denken ist. Ebenso erhält man durch c, und 

 die ihr benachbarte e^ die Paare «, « ; h, ß in analoger 

 Disposition. 



Die beiden Transversalen von a, ß sind in ij, «,, 

 die von b, a in «j ß^ gegeben, und entsprechend liegen in «, ß und 6, a die Transversalen 



*) Anmerkung 1. Zur Erläuterung mag an dieser Stelle Folgendes dienen: Zur Construction des 

 Schnittes C* von F* mit einer beliebig durch o gelegten Ebene (S verfahre man also: e sei der Pol 

 von 6 in Bezug auf H'^ ; die durch e gehenden Tangentialebenen i? der Q- liefern die in E befindlichen, 

 auf C'' fallenden Paare r. p. Sei Tť^ die Schnittlinie von ®, H\ welche auf a' die Puncte x, j: habe. 

 Alsdann kann man die fraglichen r, q durch Benützung der Tracen in (S der durch c gedachten R finden. 

 Diese umhüllen einen Kegelschnitt ql und man erlangt ein Paar r, p, indem aus x, j die Puncte 

 projizirt, welche irgend eine Tangente von gj mit k- gemein hat — als Schnittpuncte der Projizi- 

 renden. — 



Auf einer Geraden durch x, welche h- in y schneidet, treten nur 2 Puncte »• auf, entspre- 

 chend den von y an fyf möglichen Tangeuten, wobei die Paarlinge $ auf yy fallen müssen. Daraus 

 folgt, dass X und x Doppelpuncte der C* sind. 



Wenn H-, Q- sich in D^ berühren, so dass für jede durch cD, gehende (S der Pol c in 

 die gemeinschaftliche Tangentialebene der Flächen B-, Q- fällt, so berühren sich auch ql, h' in D,. 

 Bestimmt man sodann die auf xß^ — oder jD, — vorkommenden r der C'% so zeigt sich, dass diese 

 beiden Puncte in D^ coincidiven, weil die beiden von B^ — als y angesehen — an gj möglichen 

 Tangenten zu einer einzigen vereinigt sind. Folglich haben xDi und ^D^ je zwei in D^ zusammen- 

 fallende Puncte mit F* gemein, und alle Schnitte dieser Fläche mit den durch aD^ denkbaren 

 Ebenen ® bekommen in D, einen Doppelpunct. 



