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27 — 16 — 3 = 8 Geraden x sind daher windschief sowohl zu a als zu «. Da auf l ausser 

 dem Paar a, « noch 4 Paare stehen, deren Geraden weder a, noch « treffen, so sind diese 

 die acht as; d. h. : 



Jedes Paar a, « bestimmt eine einzige Gruppe von 5 Paaren, unter 

 welchen a, « vorkommt. Die Ebenen dieser Paare schneiden sich in einer 

 bestimmten der 27 Geraden — in Z — Die 135 Paare vertheilen sich somit- 



in -^ := 27 verschiedene Gruppen, welche einerlei mit denjenigen sind, die 



auf je einer der 27 stehen. 



12. a, &, c seien drei windschiefe der 27 ; einer derselben etwa c weisen wir die Rolle 

 der q zu, dann fallen a, 6 in die Abtheilung A'. Dieselben haben, wie eben gesehen, 5 Trans- 

 versalen, von welchen (nach 3, d) zwei in A' sich befinden, folglich sind die 3 andern in B'. 

 d. h. Drei windschiefe der 27 haben drei Transversalen unter ihnen. 



Wie viele Geraden gibt es, die keine der 3 angenommenen schneiden. 



Ausser den 3 Transversalen hat jede der Gombinationen a&, ac^ bc noch 2, ferner 

 wird a auschliesslich noch von 10 — 3 — 4 = 3 Geraden geschnitten, und gleiches gilt für h, c. 

 Demnach bleiben 27—3 . 3—3 . 2 — 3—3 = 6, von welchen jede zu a, b und c windschief ist. 



Vier windschiefe a, 6, c, d besitzen 2 Transversalen ij, t^ also können 5 windschiefe 

 a,b,c,d,e höchstens 2 Transversalen haben. Wenn wir der e die Rolle von q übertragen, 

 so dass a, b, c, d unter den A' sind, so werden diese 4 entweder ein Quadrupel Q bilden 

 oder nicht. 



á) Wenn ersteres stattfindet, so liegt von den beiden Transversalen i^, t^ (nach 3 d) 

 keine in der Abtheilung A', also treffen beide e. Alsdann gibt es in A' keine zn ab cd wind- 

 schiefe, weil aber die in B' enthaltenen auf e stehen, so existirt unter den 27 über- 

 haupt keine, die windschief zu abcde wäre. 



Wird umgekehrt angenommen, dass die 5 windschiefen Geraden 2 Transversalen 

 haben, so können ab cd keine Transversale unter den A' besitzen, folglich bilden sie unter 

 diesen ein Quadrupel, und es muss jede der 22 Geraden wenigstens einer der 

 fünf begegnen. 



b) ab cd ist kein Quadrupel, und es werde abc durch b zu einem Quadrupel abcb. 

 Von den Transversalen ž^, t^ der ab cd gehört alsdann eine etwa ť^ unter die ^', während i^ 

 auf e steht. Hier haben somit abcde die einzige Transversale t^. Ferner wird t^ von «, 

 b, c, d und noch einer Geraden / aus A' getroffen, und es sind d, /, b die einzigen gegen 

 a, b und c windschiefen der A' fv. 3. d, wo statt d, /, b beziehlich <i, ď, , d steht). 



Mithin sind dies auch die einzigen zu abce windschiefen ; b aber schneidet d, dagegen 

 schneiden d, f einander nicht. Das heisst: Es existirt nur eine einzige Gerade/, 

 welche keiner der abcde begegnet. 



Es ist damit bewiesen, dass mehr als 6 windschiefe unter den 27 überhaupt nicht 

 denkbar sind, und dass, wenn abcdef sechs zu je 2 windschiefe Gerade sind, d. i. 

 eine Geradensechs bilden, je 5 derselben eine und nur eine Transversale 

 besitzen. 



