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14 Fi mit i Doppelpuncten. 



Der Fall, dass zwei windschiefe Gerade der F^, allgemeiner 2 solche der F* be- 

 nachbart — unendlich nahe — liegen, verdient eine besondere Berücksichtigung. Wir legen 

 die Construction mittels zweier Geraden e^, e^ — derselben Schaar von Q- angehörend — 

 zu Grunde: «i, e^ berühren H'^ beziehlich inp,, ps, welche Puncte den Curven E\ t* gemeinsam 

 sind, die beide auf H'^ liegen — letztere auch auf f *, g,, g, bedeuten wie früher die Durch- 

 stosspuncte von e^, e, in 2. 



Zieht man von ti an a* die Tangenten ?,«, ^^a — a^ a sind ihre Berührungspuncte, 

 so liefert e^ das Geradenpaar Piö, p^cc der F*, wofür kürzer a, « geschrieben werde. In 

 gleicher Weise gelangt man mittels e^ zum Paare &, ß. Die Ebenen Pioa, ^36/3 sind die 

 Polarebenen von t\, §3 bezüglich IP (1. u. 2.). 



Wenn nun e^ sich in infinitum der e^ nähert, so gelangt h in eine Nachbarlage von a 

 und gleichzeitig ß in eine solche von «. Auch p^p^ muss unendlich klein werden; denn so- 

 bald 63 die Lage von e^ annimmt, decken sich die Polarebenen von ?i, ^3, und wäre x>i Ih 

 endlich, so fielen in dieselbe zwei verschiedene Geradenpaare, und nebstdem der Kegelschnitt^ 

 welcher der durch fj gehenden Geraden der andern Schaar von Q^ entspricht, was nicht 

 möglich. Also sind a, h ebenso wie «, ß benachbarte windschiefe Geraden der jF*. Ferner 

 berühren sich in p^ die Kaumcurven Ä*, <*; aber e^ berührt (Nr. 9) die R* in p,, mithin i* 

 im selben Puncte, und auch F*, welche t* enthält. Weil die Geraden a, a der F* durch p^ 

 gehen, die Fläche in p^ eine Tangente — e, — besitzt, die ausserhalb der Ebene au liegt, 

 so muss 2\ ein Doppelpunct von F"^, also auch von t* sein. Nennen wir 63 die noch durch p^ 

 gehende Gerade der Q-, so hat auch diese 2 Puncte von t*, in Pi zusammenfallend, d. i. sie 

 berührt H" in p^. Jetzt haben £ř-, Qr in ^j die nämliche Tangentialebene, und es liefert 

 e„ ^ e^ (nach 9. «) zwei windschiefe Paare öj, «, ; &i, /3j^ von i^*, wobei Oj, &^ ; «j, /Sj be- 

 nachbart sind: 



Existirt auf F* eine Gerade a, zu welcher eine andere 6 von i^^ be- 

 nachbart und windschief ist, so besitzt i^* einen Doppelpunct D^ auf a, 

 welche selbst zu vier in D^ zusammenstossendenbinären Geraden der F* 

 gehört. 



o) i'J mit einem Doppelpunct £>,. 



Wir legen die in Nro 10 auseindergesetzte Erzeugung der F^ mittels des Büschels 

 {fp") zu Grunde, und behalten die schon gebrauchten Benennungen, wonach F^ in der Ebene 21 

 den Kegelschnitt a- und die Gerade q, Q" in 2 die Geraden e, e^ hat. ffj . . .g^ sind die 

 Spitzen der vier durch die Basis ř* von (qo") gehenden Kegel 2ten Grads. Sie sind (7.) conju- 

 gii-t in Bezug auf iP, 2\ also auch in Bezug aut ^ff^, Q*, da Q} die Polarfigur von 21 be- 

 züglich H"^ ist. Die von q verschiedenen 26 Geraden vertheilen sich in 2 Kategorien il, B\ 

 erstere umfasst die auf a* stehenden 16, letztere die 5 Paare Z, A, die auf q stehen, und von 

 denen jedes in einem der 6 zusammenstösst. 



Wenn H"^^ Qr sich in D^ berühren, und demgemäss (Aum. 1) D^ Doppelpunct von 

 F[ wird, so fallen in D^ zwei der Kegelspitzen ff, etwa ffj, ff^, und ffj, ffo finden sich in der 

 gemeinsamen Tangentialebene von H-, Q' für den Punct D,. — Die windschiefen Geraden- 

 paare řj, A3 und Z^, A4 vereinigen sich jetzt, und man kann l^ zu Í3, A4 zu A3 benachbart 



