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ni. Beziehungen der verschiedenen Greradensechs unter sich und zu 



anderen Gebilden. 



Für die geometrische Untersuchung der auf einer Fläche 3ter Ordnung F' befindli- 

 chen Gebilde liefern die nachstehenden Erörterungen unentbehrliche Hülfsmittel. 



31. Verhalten einer gegebenen Sechs (ai-.aj gegen die 21 anderen Ge- 

 raden und die noch möglichen Geradensechs. 



Irgend eine Gerade von F^ gehört entweder zu den «, oder zu den sechs h, welche 

 mit jenen die Doppelsechs (ab) bilden, oder zu den 15 Geraden c, von welchen jede zwei, 

 aber nur zwei der a trifft. Eine dieser c wird durch i k bezeichnet, wenn sie ai, a* schneidet. 

 Zwei der 15 Combinationen bedeuten zwei windschiefe, oder zwei sich schneidende c, je 

 nachdem sie einen Index gemein haben, oder nicht. 



Will man daher unter diesen c drei windschiefe angeben, so müssen je zwei der- 

 selben einen gemeinsamen Index besitzen. Nun können hiebei nur zwei Fälle eintreten, ent- 

 weder alle drei haben den nämlichen Index, wie 12^ 13, 14; oder man hat zu nehmen 12, 

 13, 2 3. Im letztern Falle wird jede der noch möglichen Combinationen c entweder keine der 

 Zahlen 1, 2, 3 enthalten, und eine solche c wird 1 2, 1 3 und 2 3 schneiden, oder c enthält 

 ewta 1, also noch eine von 2, 3 verschiedene Zahl, und muss demgemäss 2 3 schneiden. Es 

 gibt folglich keine c, welche zu allen drei ; 12, 13, 23 windschief ist. 



Sollen sonach 4, zu je zwei windschiefe c gewählt werden, so müssen sie sämmtlich 

 einen gemeinschaftlichen Index bekommen. Da es nun 5 Combinationen mit einem gemein- 

 schaftlichen Element — etwa 1 — gibt, so existiren unter den c noch Gruppen von 5 Wind- 

 schiefen, nicht aber von mehr. 



Weil ferner jede der 5 Geraden 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 sowohl a^ als &, schneidet, und 

 die andern 5, welche noch auf a^ stehen, unter den b sind, die 5, welche noch b^ treffen 

 unter den a ; so ergibt sich, dass Ui von jeder c getroffen wird ; welche den Index i hat, nicht 

 aber von den übrigen c. 



Ferner folgt, dass fünf c zur Bildung einer Sechs nicht gebraucht werden können, 

 da sie zwei Transversalen haben. Immerhin kann man aber vier c nehmen z. B. 1 2, 1 3, 1 4, 

 15 wodurch (v. 13.) eine sie enthaltende Sechs bestimmt ist. Die beiden fehlenden Geraden 

 sind hier leicht aufzufinden: Sie müssen nämlich unter den a und b sein, und von diesen 

 sind offenbar a^, b^ allein windschief zu den angenommenen vier c, und wie dies sein muss, 

 auch windschief zu einander. Also: 



Eine Geradensechs, welche vier c enthält, nimmt a und die homo- 

 loge b auf. 



Wenn demnach eine Sechs zwei a enthält, und aus diesem Grunde keine b enthalten 

 kann, aber auch nicht vier c, so folgt, dass sie wenigstens noch eine a enthalten muss, mehr 

 aber auch nicht, weil sie sonst mit (a^ . .. aj selbst identisch wäre. 



