35 



zählenden Geraden bestehen. Wäre die Unzulässigkeit letzterer Annahme bewiesen, so folgte 

 von selbst, dass die drei Geraden zu je zwei windschief sein müssen. 



Ist aber im Kestschnitt eine doppelt zählende Gerade «o, so ist auch eine einfache a^ 

 darin. Nun können die durch a„ gehenden zwei F^ nicht eine der a^ benachbarte windschiefe 

 enthalten, weil F^ auf o„ keinen Doppelpunct hat (v. 11), sie können auch nicht längs a^ 

 eine gemeinschaftliche Tangentenebene besitzen.^) 



Soll aber eine F- durch «„ existiren, für welche diese «j im Schnitt F^,F^ doppelt 

 zählt, so kann «„ nur dann einfach auf F- sein, wenn F"^ noch eine der a^ benachbarte die a^ 

 treffende oder nicht treffende Gerade von F^ enthält. Da aber Beides nach dem Gesagten 

 ausgeschlossen erscheint, so könnte nur noch a, eine doppelt zählende Gerade der F- sein. 



Wäre jetzt % windschief zu «r,, so könnte eine solche F'' nicht auch a^ enthalten; 

 schneidet sich dagegen «i, «j, so genügt jede der oo^F", welche aus der Ebene a^cu und 

 irgend einer durch a^ gelegten Ebene besteht, der Forderung, und das Geschlecht der -Bp 

 wäre = 2. 



Hiernach hatizj^rei windschiefe Quadrisecanten, worunter nebenbei 

 keine zwei benachbarte sind. 



©. Die Quadrisecanten aller Rp. 



Die supponirte Existenz einer Quadrisecante bedingt ersichtlich mindestens 7 scheinbare 

 Doppelpuncte für die Ep-, also p ^ 3. 



Erstens. El hat entweder keine Quadrisecante, oder unendlich viele. Nämlich, 

 wenn sie eine hat, so liegt El *) auf einer F- ; hat mithin die eine Schaar von Geraden zu 

 Quadi-isecanten. Dass El keine Quadrisecante zu haben braucht, zeigt das angeführte zweite 

 Beispiel (SS). 



') Man kann den Satz aufstellen: 



Wenn eine Gerade «2 ™ Schnitt zweier i" doppelt zäHt, diese F^ ohne Doppelpuncte sind, 

 so gibt es im Büschel dieser I^ stets eine Regelfläche F^ mit der Doppelgeraden a^. 



Es ist klar, dass die Flächen eine der Oj benachbarte mndschiefe Gerade nicht enthalten, 

 können. Gesetzt, in Oj fielen zwei sich schneidende Gerade der Flächen zusammen. In der alsdann 

 auftretenden gemeinschaftlichen Tangentenebene liege noch Oj von F'. Legt man durch a^, a^ irgend 

 eine i^, so hat diese mit F^ eine iž* gemein, die «j in zwei Puncten schneidet. B* ist die Basis 

 eines Büschels i^, der mit dem Ebenenbüschel durch «2 die Fl erzeugt ; mithin bekommt diese zwei 

 Doppelpuncte auf Oj. Soll nun in anderer Weise a^ doppelt zählen, so betrachte man eine Ebene E, 

 welche a, in einem beliebigen Puncto s schneidet; dann müssen sich die Curven, welche E mit den 

 F^ gemein hat, in s berühren; d. h. in jedem Puncto von «2 haben die beiden F' eine gemeinsame 

 durch «2 gehende Tangentenebene. 



Legt man hierauf eine Ebene durch «jj so wird diese Bitangentialebene beider F', und ihre 

 Berührungspuncte auf Oj werden die nämlichen zwei Puncte sein. Die F' haben ausser «2 noch eine 

 Raumeurve Ä' gemein, eine beliebige durch a^ gelegte Ebene enthält nur 2 Puncte dieser Cui-ve 

 ausserhalb o,, also ist a^ Spunctige Secante der Rp'. Die adjungirten Flächen 2ter Ordnung haben, 

 wie im Text zu sehen, sämmtlich die a^ zur Doppellinie, ihre Mannigfaltigkeit ist also 2 ; folglich 

 Í j =r 3 =: 7 — 4. Alsdann aber liegt (Bobek a. a. 0.) IV auf einer Regelfläche F^ mit 

 der Doppelgeraden Oj. 



