B. Auffladung neuer Tonquotienten oder Tonwerthe. 



Nr. 3. Ein interessantes, vor Kurzem von mir erdachtes Verfahren zur Auffindun'^ 

 von Tonwerthen aus je einem Paare bereits irgend wie gefundener Tonwerthe besteht darin, 

 dass man von einem solchen Tonpaare das arithmetische Mittel (oder kürzer das Mittel) 

 beider Töne, d. i. die halbe Summe derselben, als neuen Tonwerth aufstellt. 



Hiezu erfassen wir den vorhin betrachteten und als Prim einer allgemeinen Tonleiter 

 angesehenen Ausgangston oder Stammton, dessen Tonwerth wir durch die Zahl 1 (Eins) dar- 

 stellen und sehen die mit 2 dargestellte Octav als die nächste Ableitung von derselben an. 



Um deutlich und richtig verstanden zu werden, bezeichnen wir die Anzahl der zur 

 Hervorbringung jenes Stammtones erforderlichen Schwingungen eines elastischen Körpers mit 

 11, daher nach obiger Einleitung die Schwiugungszahl der Octav mit 2 w; sonach ist 



a) das Mittel dieser zwei Schwingungszahlen, nemlich ihre halbe Summe 



{n -\- 2 m) : 2 = I w ; 

 folglich entspricht ihr 



der Tonwerth |?i : m = | =: li^ als (arithmetisches) Mittel der Prim 1 und der Octav 2. 



h) Ferner, betrachten wir als nächstes Mittel das zwischen dem eben gefundenen und 

 der Prim, daher wieder das Mittel ihrer Schwingungszahlen | n und w, nemlich 



(jz + iJi):2 = |n 

 als neue Schwingungsanzahl, welcher der Tonwerth ín:n^^^l\ entspricht und als Mittel- 

 ton zwischen der Prim 1 und dem Tone f gilt. 



c) Endlich bestimmen wir das dritte arithmetische Mittel wieder aus der 

 Prim und dem so eben gefundenen Mittel f w, nemlich das Mittel ihrer Schwingungsanzahlen 

 \n und n, welches 



ist, mithin auf den Tonwerth l n : n :=.{■:= 1\ hinleitet. 



Nr. 4. Diesen drei als Mittel erhaltenen neuen Tönen |, |, f , müssen wir nun zwischen 

 der Prim 1 und ihrer Octav 2 die entsprechenden Zwischenstellen genau anweisen; wozu wir 

 festsetzen, dass jedes solche Mittel in der Mitte zwischen seinen beiden Grenzstellen seine 

 Stellung erhalten solle. 



Zunächst haben wir das Mittel f der Prim 1 und der Octav 2 zwischen die erste 

 und achte Stelle, also auf die Stelle, der wir die Nummer (1 -f- 8) : 2 = 4r} anzuweisen hätten, 

 zu bringen. Da es aber keine solche gebrochene Nummer gibt, so fügen wir um den vor- 

 anstehenden Dividend (1 -(- 8) durch 2 theilbar zu machen, ihm die noch unbestimmt ge- 

 lassene Zahl + 1 bei, und finden so die Nummer 



(l + 8±l):2 = 4 + i=i. 



Dem zufolge geben wir dem zweiten Mittel f diejenige Stelle, deren Nummer zwischen 

 der so eben berechneten und der von der Prim besetzten ersten Stelle die arithmetisch mitt- 

 lere Nummer, d. i. / 1 -+- 1 \ 3 + 1 



sein muss. 



(. + , + iáLÍ):. = .+ 



