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■f zwischen f und 3, daher muss der Ton | zwischen die Terz | und die Quint J als Quart 



in die Tonleiter eingestellt werden. 



Noch mag bemerkt werden, dass das Product jedes Paares umgekehrter Töne s und 

 2 

 — gleich 2 ist. 



hj Die oben aufgestellte Division t:s=:qu=:zqu:l können wir als eine folgenreiche 

 Rechnungsweise bezüglich der Erniedrigung oder Vertiefung der Töne benützen. Sie lässt 

 sich nemlich dergestalt auffassen, dass man einen bekannten Ton t um einen angegebenen 

 Ton s vertieft oder erniedrigt und damit auf den in Frage stehenden Ton qu herabkommt; 

 wornach man einen Ton t um einen anderen Ton s erniediügt, indem man jenen durch diesen 

 dividirt und den entfallenden Quotienten t als den gesuchten tieferen Ton anerkennt. 



Verwechselt man (was jederzeit erlaubt ist) in obiger Division den Theiler und den 



Quotienten miteinander, ertheilt ihr demnach die gleichgeltende Form — z=s=:s- 1 so 



gu ' 



zeigt sie, dass wenn umgekehrt der Ton t um den angewiesenen Ton qic erniedrigt wird, man 



bis auf den fraglichen Ton s herabsteigt. Z. B. Senkt sich ein veränderlicher Ton von der 



Octav 2 um eine Quint f, so gelangt er, da 2: | = | ist, auf die Quart |; umgekehrt, senkt er 



sich nur um die Quart ■*, so bleibt er schon bei dem Tone 2 : | = |, d. i. bei der Quint stehen. 



c) Ertheilt man endlich derselben Theilung t:s = qu nach dem Satze, dass der Theiler 



mit dem Quotienten multiplicirt, den Dividend wiederherstellt, die Gestalt t = s .qu = qu .s\ 



so wird ersichtlich, dass man einen gegebenen Ton s um einen anderen ebenfalls bekannten 



Ton qu, oder umgekehrt einen angegebenen Ton qu um einen angewiesenen s, beide Male 



auf den fraglichen Ton t erhöhen (steigern, erheben) wird, wenn man die Tonwerthe jener 



beiden Töne mit einander multiplicirt. Z. B. Die Erhöhung der Quint | um eine Quart | 



oder umgekehrt die Erhöhung einer Quart | um eine Quint f führt auf die Octav 2; oder 



wie man sich auch sonst ausdrücken darf, die Octav 2 ist die Quart der Quint f oder sie 



ist die Quint der Quart |. 



D. Specielle Berechnung von Tonwerthen als Tonquotienten. 



Nr. 6. Schon aus den drei bisher aus der Prim abgeleiteten Haupttönen der Octav 2, 

 der Quint | und der Terz f , vermögen wir nun mittels Theilung der grösseren Tonwerthe durch 

 die kleineren eine unzählbare Menge neuer Tonwerthe (Töne) zu berechnen ; von deren Bruch- 

 form schon hier angeführt werden kann, dass ihre Nenner und Zähler keine anderen als die 

 drei kleinsten Primzahlen 2, 3, 5 enthalten können, weil auch blos diese in jenen drei, den 

 Rechnungen zu Grunde liegenden Haiipttönen als Factoren oder Divisoren vorkommen und 

 weil alle hier vorkommenden Rechnungen endlich sich auf Multiplicationen von Brüchen mit 

 Brüchen zurückleiten lassen. Wir beginnen die beabsichtigten Rechnungen, welche hier aus- 

 schliesslich Bestimmungen der Intervalle je zweier allmälich gefundener Töne sein werden: 



a) mit der Verbindung der Octav 2 mit der Quint | und finden die Intervalle: 

 2 : 1 = I = 1-33|, wie schon oben; | | : | = f = IJ- = 1-125, die bereits früher anders be- 

 stimmte Secund, nebst ihrem umgekehrten Ton: 

 2 : f = ^ = 1-7; 11 : 1 = I?- = 1^ = 1-Í85; | 2 : §-^ =: fj = 1-6875; u. s. w. 



