h) Verbinden wir die Octav 2 mit der Terz ^ und finden die Intervalle: 



2.5. 8 l.ß I 8.5. 32 II4 1 .OQ 1 31.5 128 II2 1 -CiOA 11 c nr 



c) Von den so eben ermittelten Tonwertben enthalten die in a) eben so wie ihre Grund- 

 lagen 2 und I die allerkleinsten Primzahlen 2 und 3; dagegen die in b) aus 2 und | ab- 

 geleiteten Tonwerthe die Primzahlen 2 und 5 ; daher wollen wir noch trachten auch Tonwerthe 

 aufzufinden, welche in ihren Nennern und Zählern das dritte Paar dieser drei Primzahlen, 

 nemlich 3 und 5 vereinzelt potenzirt enthalten. 



Derartige Tonwerthe ergeben sich in nachstehender Weise als neue Intervalle: 



3 



2 . f = I = 1-2 und sein umgekehrter Ton : 



2:| = f = l-66, I f:f = J^=H=l-lli, | 2:^ = 1 = 1-8. 



Diese zwei umgekehrten Tonwerthe | und f, welche blos die Primzahlen 3 und 5 

 enthalten, dienen demnach der ausgesprochenen Absicht zur Grundlage und liefern uns, wofern 

 wir sie mit der Octav 2 nicht in's Verhältniss stellen, eben solche Tonwerthe, namentlich: 



9 ■ S_ 2 7. 1 . 1 1 .AQ I i . 2i ]_23 1 .F-A^ 127.125 2189 „ o vp 



5-3 25 -'^l2-5 ^ ^^1 I 3-25 81 "■- '^^''l I 25- 81 T r^S > "• °- " • 



Diese hier wenigstens in den Anfängen vollbrachte Bestimmung von Tonwerthen, 

 welche nur zwei, der drei kleinsten Primzahlen 2, 3, 5, in ihren Nennern und Zählern ein- 

 fach oder potenzirt enthalten, ist zwar nicht uninteressant, führt aber wie voranstehende Bei- 

 spiele zeigen, sehr rasch zu grossen Nennern und Zählern; desshalb empfiehlt es sich, diese 

 Einschränkung unserer Rechnungen aufzugeben, dagegen die drei abgeleiteten Haupt-Töne 2, 

 I und f für das vorgesteckte Ziel nach Bedürfniss zu verbinden, jedoch von den bereits ge- 

 fundenen Tönen die nachstehenden dergestalt zu benützen, dass wir Jedem Tone seinen um- 

 gekehrten unterstellen: 



1 3 5. 6 9 10 27 3 2 ^ ' n d TV 



■^1 25 4Í 5' 8) T! 161 2 5) 2 5 U- B. W. 



9 A 8. 5. L6 9 3 2 2 5 5 Í „ <j w 



^1 31 51 3) 9 1 5 1 57) T'6' 2 7 '^- ^- "• 



dj Suchen wir sonach das Intervall der Terz zur Quart, so ist es f : | = a| = IJ5 = 

 1-066 und hiezu der umgekehrte Ton 2 : f« = ^ — 1-875, ferner finden wir f : f = -||- = 

 IjV = 1'0416 und umgekehrt 2 : |f = f f — 2 _ ^2^ = 1-92. 



Nr. 7. Bemerkungen: Die hier berechneten Intervalle zeigen genügend, dass wir 

 aus den drei abgeleiteten Haupt-Tönen 2, |, f eine beliebige Anzahl neuer musikalischer 

 Töne als Intervalle bereits bekannter Tonpaare zu bestimmen vermögen. 



Die reine Musiklehre darf nun allerdings mit dem berühmten Acustiker und Musiker 

 Chladný verlangen, dass als musikalische Töne nur jene angesehen werden sollen, deren 

 Tonwerthe dieser Forderung entsprechen; die praktische Musik dagegen, kann (wegen der' 

 entschiedenen Unmöglichkeit der vollkommenen Stimmung der Töne der Musikinstrumente) 

 es keinesfalls vermeiden, dass manche ihrer anzuwendenden Tonwerthe auch grössere Prim- 

 factoren in sich aufnehmen, ohne dass die beziehlichen Töne als schrill klingende sich her- 

 vordrängen; namentlich solche die von den, der obigen Forderung entsprechenden Tonwerthen 

 in den Schwingungszahlen nur um wenige Einheiten sich unterscheiden. So z. B. ist das Ver- 

 hältniss der Prim 1 zur Terz 1 : |, kann aber auch 1 : |-§ oder 1 : |o~a gestellt werden. Würden 

 nun statt 50 Schwingungen entweder blos 49 oder aber mehr, nemlich 51 Schwingungen, oder 



