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Glieder einer absolut convergirenden unendlichen Reihe. Schliesslich sei m eine endliche 

 Grösse, die keine positive ganze Zahl sein soll; dann wird die unendliche Reihe 



(1) 



00 



r^zO 



für sämmtliche x, denen die Grössen a,, nicht unendlich nahe kommen, einen bestimmten 

 endlichen Werth besitzen, den wir mit f(x) bezeichnet haben. Es zeigt sich leicht, dass diese 

 Function in einer gewissen Umgebung jeder Stelle aj^, welcher die Stellen a^ nicht unendlich 

 nahe kommen, durch eine Potenzreihe von der Form 



(2) 



^0 + M«=—«>o) + 4(«= — a'o)* + • • • = Zj ^**^^ ~ '"o)* 



dargestellt werden kann. Der wahre Convergenzbezirk dieser Potenzreihe ist auch ein solcher 

 für die Potenzreihe 



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welche die Function 



dx" 



=: to(9w — 1) . 



v=zO 





darstellt. Da nun die letztgeschriebene Reihe dieselbe Form wie die Reihe (1) hat, und für 

 hinreichend grosse Werthe von n der Exponent m — n einen negativen reellen Bestandtheil 

 besitzt, so düi'fen wir uns bei der Bestimmung des wahren Convergenzbezirkes der Potenzreihe 

 (2) auf diejenigen Werthe von m beschränken, welche einen negativen reellen Bestandtheil 

 besitzen. Es liegt nicht in unserer Absicht, den wahren Convergenzbezirk der Reihe (2) für 

 jeden Werth von x^ zu bestimmen, sondern wir beschränken uns auf den Fallen, dass eine 

 der Differenzen Xq — a^ den kleinsten absoluten Betrag erhält, so dass, wenn dies für v =za 

 der Fall ist, die Ungleichheiten 



>1, (v^«), 



bestehen. Man darf unbeschadet der Allgemeinheit « z= voraussetzen. 



Nun ist klar, dass die Reihe (2) convergirt, so lange \x — £Col<l^o — ^o I ist; um 

 zu zeigen, dass diese Bedingung zur Convergenz erforderlich sei, dass also ]% — x^l der wahre 

 Convergenzradius der Potenzreihe (2) ist, betrachten wir die Function f(x) für diejenigen 

 Werthe von x, welche der Strecke (x„ . . . Oq) angehören. Für dieselben bestehen offenbar 

 die Ungleichheiten 



>1, (v=l, 2, 3, ...) 



