Glieder einer absolut convergenten Reihe, so lässt sich die Function 



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ßx) = 2j «V (a= — «*)"* 

 v=0 

 in eine Potenzreihe 



entwickeln, welche die Grösse \a^ — x^\ zum loahren Convergenzbezirke hat, vorausgesetzt, dass 

 m keine positive ganze Zahl ist." 



2. Diesen Satz in einer speciellen Form, nämlich für m=: — 1, haben die Herren 

 Poincaré und Goursat zur Construction von Functionen, die nicht in der ganzen den Verlauf 

 der unabhängigen Variabelen versinnlichenden Ebene existiren, benutzt. 



Ist nämlich S irgend eine geschlossene Linie, welche ein endliches einfach zusammen- 

 hängendes Gebiet (S) begränzt, und wählt man für die Grössen 



Elemente einer unendlichen Punctmenge, welche die Handlinie S von (S) überalldicht bedeckt, 

 im Uebrigen aber auch ausserhalb (ß) gelegen sein kann, so folgt aus dem zuletzt be- 

 wiesenen Satze, dass die daselbst betrachtete Function ßx) nur innerhalb des Gebietes ((5) 

 existirt. Denn man kann in jeder Umgebung einer Stelle an der Randcurve S Stellen x^ 

 finden, welche dem Gebiete (S) angehören und einer der Stellen (a^) am nächsten kommen; 

 dann wird sich /(o?) in eine Potenzreiche nach (x — x^) entwickeln lassen, deren Convergenz- 

 bezirk nicht über (ß) hinausreicht, was nicht der Fall sein würde, wenn sich die Function 

 au einer Stelle der Eandcurve S regulär verhielte. — Dagegen kann aus unserem Satze über 

 den wahren Convergenzbezirk der Potenzreihe (2) nichts geschlossen werden, wenn die Punct- 

 menge (av) so beschaffen ist, dass jeder Punct von S eine Häufungsstelle derselben ist, dabei 

 aber die Randcurve (5 selbst nicht in jedem Theile Puncte («v) enthält. Dies entsteht z. B. 

 wenn man 



«^ = 6" , (i.= l, 2, 3,...) 



setzt, unter « eine irrationale reelle Grösse verstanden; in diesem Falle befinden sich alle 

 Stellen a^. ausserhalb des Einheitskreises | aJ | ^ 1 und jede Stelle am Umfange S des letzteren 

 ist eine Häufungsstelle der a^. In einem solchen Falle ist unmöglich im Gebiete (ß) eine 

 Stelle «0 aufzufinden, wofür eine der Differenzen cc^ — a^ ihrem absoluten Betrage nach kleiner 

 sei als alle übrigen. Denn wäre dies für v = « der Fall, so würde sich im Kreise mit 

 dem Mittelpuncte x^ und Halbmesser | a« — Xo\ keine weitere Stelle der Menge (a») befinden 

 können, und es könnten dann die innerhalb dieses Kreises gelegenen Randpuncte nicht 

 Häufungsstellen von (a„) sein, was gegen die Annahme streitet. Ist in einem solchen Falle a 

 ein Punct der Randcurve S, errichtet man in diesem Puncte an S eine Normale, und lässt x 



