11 



í:(-»'("v'),f-i:HrV. 



<4' 



bezeichnet man mit A die linke Seite der Gleichung {A), so kommt offenbar 



wobei & eine complexe Grösse bezeichnet, deren absoluter Betrag kleiner als Eins ist. Man 

 scbliesst hieraus sehr leicht die Formel 



A ^ lim A^ , 



und somit ist die Gleichheit der beiden Grössen (A) und (B) nachgewiesen. 



IL 



1. In den Contrihutions habe ich bemerkt, dass die Functionen 



00 00 



vr::0 v^z.1 



nur innerhalb des Einheitski-eises existiren. Diese beiden Functionen sind nur specielle 



Fälle einer allgemeinen Classe von Potenzreihen, welche ich in einem Briefe*) an Herrn 



G. Mittag-Leffler betrachtete. Diese letzteren sind wieder specielle Fälle eines allgemeinen 



Satzes, den ich hier entwickeln werde. 



„Es seien 



wig, ??ii, TOj, ... »n^, . . . 



positive ganze Zahlen, von denen jede einzelne in allen folgenden als Theiler aufgeht, und es 



bedeuten 



^„(cc), ^,{x\ ^,(0=), %{x\ . . . 



analytische Functionen , welche sich im Einheitskreise regulär verhalten und auf der 

 Periferie desselben höchstens eine Unendlichkeits-Stelle x^l besitzen und so beschaffen 

 sind, dass die Reihe 



CO 



ý{x)=^'^,{x'^) 



für alle inneren Stellen des Einheitskreises convergirt und sich in eine für alle | a; | < 1 

 convergirende Potenzreihe umwandeln lässt; ist ausserdem für unendlich viele Zahlen n bei 

 positiven reellen a;<;l 



*) Acta mathematica, t. X., p. 87., (1887). 



2* 



