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(1) lim T] ^^(řc'"") = oo : 





dann existirt die Function f(x) nur innerhalb des Einheitskreises |a3| = 1." 



Denn würde man behaupten, dass sich die Function f{x) in einer gewissen Umgebung 

 einer Stelle x^^u auf der Kreislinie j cc I = 1 regulär verhalte, so würde man damit sagen, 

 dass die betrachtete Function in allen Stellen einer gewissen Umgebung von u ihrem absoluten 

 Betrage nach unterhalb einer constanten Grösse verbleibt. Dass dies bei den gemachten 

 Voraussetzungen unstatthaft sei, lässt sich auf folgende Weise begründen. Wir nehmen n so 



gross an, dass wenigstens eine Wurzel der Gleichung £c™n rr 1 — die wir mit 6 "*" = x^ be- 

 zeichnen, unter a eine positive oder negative mit m^ theilerfremde ganze Zahl verstanden — 

 in die letzterwähnte Umgebung von u fällt. Setzen wir dann 



x — ěř^i""' ^zx^e-" , 

 unter « einen positiven echten Bruch verstanden, so kommt 



Nach der Voraussetzung (1) hat man aber 



,00 



Um y^3„(e -""'■>') = cß, 



und da nach der Wahl von qjq keine der Grössen V"*, (v = 0, 1, ... n — 1) der Einheit 

 gleichkommt, so ist jede der n Grössen '^(x"^v q— «'«v) endlich, und somit kommt nach der 

 zuletzt geschriebenen Formel 



limf(x) = lim f{xQe~ ") =: oo , 



was eben die Unzulässigkeit obiger Annahme klarstellt. 



In dem citirten Briefe an Herrn Mittag-LeffUr wurde ^»(ce) = CvX angenommen, und 

 die reellen Bestandtheile yv der Grössen c^ wurden positiv und ihre Summe divergent voraus- 

 gesetzt. Es reicht aber hin, um eine nur innerhalb des Einheitskreises existirende Function 

 zu erhalten, die y^ blos der Bedingung 



n 



lim / Yv = -f- CO 

 ZU unterwerfen, also auch negative y^ zulassen. Wenn also unter dieser Bedingung die Reihe 



