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00 



für alle i as | <; 1 couvergirt, so existirt dle durch sie dargestellte Function nur für | cc | < 1 ; 

 denn es wird nach einem Satze von Abel und Dirichlet 





Um 2^ y^x"'v — _j_ 



und somit wird die in der Formel 



~ V=ii 





00 



lim y^ Cyic™» = 00 



enthaltene Bedingung (1) erfüllt sein 



V — 11 



2. Ein anderes Beispiel bekommt man durch die Annahme*) 



unter der Voraussetzung, dass die reellen oder die imaginären Bestandtheile der Grössen c, 

 gleiches Vorzeichen besitzen. Ausserdem haben die c^ die Convergenzbedingungen von 



V 



00 



für alle 1 a; j < 1 zu erfüllen. Dazu ist nothwendig und hinreichend die Convergenz der Keibe 



2J Sa^™" 



für alle |a;i<;l vorauszusetzen. 

 Die Bedingung (1), nämlich 



00 



lim y, c„lg(l — a;"V) = co, 



wird hier offenbar bei allen Werthen von n erfüllt sein, da entweder die reellen oder die 

 imaginären Bestandtheile einzelner Glieder für livi x=:l mit gleichem Vorzeichen unendlich 

 gross werden. Also haben wir den Satz: 

 Die Functio7i 



(2) 



v=0 i—Xf 



existirt nur innerhalb des Einheitskreises ja;| <; 1, wenn entweder die reellen oder die imaginären 

 Bestandtheile der Grössen c gleichbezeichnet sind, und wenn die Reihe 



C^X 



*) Wir bedienen uns der Bezeichnung \gx anstatt log. nat. x. 



