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handelt. Damit die Reihe für alle | « | < 1 convergent sei, ist nothwendig und hinreichend, 

 dass die \a^\ die Zahl 1 nicht überschreiten und dass die Reihe 



v=0 



C„X^v 



für alle ! x | ■< 1 convergirt. Die a^ müssen sämmtlich von — 1 verschieden sein, damit x^=. — \ 

 keine singulare Stelle der Functionen ^j» sei. Hier sind nun folgende Fälle zu unterscheiden : 

 «) Siimmtliche «^ sind reell und gleichbezeichnet. Sind dann entweder die reellen 

 oder die imaginären Bestandtheile y^ der Grössen c^ gleichbezeichnet und die Reihe 



00 



v=0 



divergent,*) so lässt sich zeigen, dass die Gleichung 



00 



lim y, y^g = + CO 



^=1 i^ 1— a^as'"!' 



bei allen n besteht, und somit ist die in unserem Hauptsatze ersuchte Bedingung (1) erfüllt, 

 und die Function f{x) existirt dann nur innerhalb des Einheitskreises. 



h) Die c^ sind reell und mit gleichem Vorzeichen behaftet; sind ausserdem die reellen 

 Bestandtheile der a^ sämmtlich negativ oder theilweise auch Null, und divergirt die Reihe 



so wird der reelle Bestandtheil von 



g|l- 



2-j "v"^^ -. lír 



bei limx = 1 unendlich gross und somit die Bedingung (1) erfüllt sein. 



c) Sind die c^ reell und gleichbezeichnet, und haben auch die imaginären Bestandtheile 

 der cv gleiches Vorzeichen und ist schliesslich die Reihe 



2 ""^8 IT 



divergent, so wii'd der imaginäre Bestandtheil von 



00 



T^ 1 — a, 



ajTOv 



*) Selbst der Fall Oj, =; 1 ist hier zulässig ; gibt es solche Werthe a^^l unendlich viele, so fällt die 

 Divergenzbedingung weg. Denn in diesem Falle wird die Bedingung (1) erfüllt sein, was auch 

 die positiven echten Brüche a^ für Werthe besitzen. 



