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fůr limx ■=: 1 imendlich gross, und also ist auch in diesem Falle die Bedingung (1) befriedigt. 

 Es sei noch bemerkt, dass in den Fällen 6) und c) die Grössen cv nicht nothwendig reell 

 sein müssen; es reicht hin, wenn si reell und von der angegebenen Beschaffenheit sind, nach- 

 dem sie durch eine bestimmte von v unabhängige Grösse dividirt worden sind. 

 Unsere Summe lässt sich wieder in die Potenzreihe 



OS 



entwickeln, in welcher 



die Summe über alle Zahlenpaare ft, v erstreckt, wofür finiv =. n ist. Setzt man hier dem- 

 gemäss ft = , so kommt 



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die Summe über alle v erstreckt, wofür mv ein Theiler von n ist. Wenden wir unsere Aufmerk- 

 samkeit auf die Function xf{x) und setzen der Kürze wegen 



1 

 so bekommen wir die Function 



OD 



(4) ^{x)=^Ty, 



n—l 



in welcher T„ die auf alle in der Reihe 



«lg, m^, m„, m^, . . . 



enthaltene Divisoren der Zahl n bezogene Summe der Grössen (p{v) . ipiv)" bedeutet, d. h. 



Tj = / , (p(v)tp(v)"- , ?i ^ (7nod mv) . 



Befriedigen die Grössen ^(v), rp(vy"v die Bedingungen, welche oben in einem der Fälle 

 a), b) und c) für die Grössen cv.-, resp. av aufgestellt worden sind, so existirt die Function 9{x) 

 nur innerhalb des Einheitskreises j a; | zz 1 . 



4. Nun wenden wir unsere Aufmerksamkeit auf einige unendliche Producte, in welchen 

 die Zahlenreihen 



«ig, W,, ?«„, »»3, . . . 



wieder die Hauptrolle spielen. 



Aus den Paragraphen 2. und 3. folgt unmittelbar, dass die beiden unendlichen Producte 



W{x) = 11 {1— x'^vf^ F{x) = 1T( i—avof'v)", 



