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in welchen av und cv dieselben Grössen bedeuten, die in den genannten Paragrafen 

 näher characterisirt wurden, analytische Functionen von x darstellen, die nur innerhalb des 

 Einheitskreises existiren. 



Im Producte F{x) darf der Annahme nach keines der av den Werth — 1 annehmen. 

 Wir werden zeigen, dass diese Bedingung unter gewissen Umständen fallen gelassen werden 

 kann. Sind nämlich die cv positive reelle Zahlen und setzt man av=: — jv, (jv > 0), so erhält 

 das Product F{x) die Form 



P{x) = n{l-\-r^x"'v)\ 



r— 



wobei zu bemerken ist, dass dieses Product für x =: 1 divergiren soll. Setzt man nun 



2 «31 i 



Xo= e^u , x=Xoe " , 



SO kommt zwar 



(«) Um JT(1 + r^e-"™") " = a> , 



es kann aber auch geschehen, dass 



iß) Um iT(l + ,-^£c„"»i'e-«"''')"''=:0 



o:=::0 v=0 



wird, und also das Product UmP{xoe~") nicht nothwendig Null oder unendlich sein wird. 



a=0 



Gibt es aber unendlich viele Werthe von n, wofür die Gleichung {ß) nicht stattfindet, so wird 

 bei allen diesen n die Gleichung Um F{x^é~'^) = co bestehen, und es wird somit P{x) nur inner- 



halb des Einheitskreises | cc | =: 1 existiren. Nun ist zu untersuchen, in welchem Umstände 

 die Gleichung {ß) bei allen Werthen von n bestehen bleibt. Dies entsteht offenbar nur dann, 

 wenn alle rv =: 1 sind (mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von v) und wenn es unter den 



2an{ 



Zahlen v = 0, , . . . w — 1 stets eine solche gibt, wofür e '"" = — 1 wird. Es muss somit 

 für 71 ^ n^ (unter n^ eine bestimmte ganze Zahl verstanden) eine ungerade ganze Zahl 



sein, somit m„ durch 2 theilbar, also a ungerade. Dann muss jeder Theiler von m,, auch 



2m^ 

 in mv enthalten sein, da a und m,, theilerfi-emd sind. Somit ist — — eine ungerade ganze 



n 



Zahl, und da <; 1 ist, so muss = 1 sein, woraus sich v:=n — 1, m = 2m 



m VI 



n n 



ergibt. Hieraus folgt aber »»,, = p . 2"'"" für ?i ^ n^, unter p eine positive ganze Zahl ver- 

 standen. Also nur im Falle, dass die Factoren des Productes P schliesslich die Form 



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