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(l+a^i'-ä"-"")«" 



erhalten, wird die Function P noch ausserhalb des Einheitskreises existiren können. In der 

 That ist 



solch eine Function, und folglich ist die hier gefundene Ausnahme wenigstens in speciellen 

 Fällen der cv eine wirkliche. Wir haben somit den Satz: 



„Sind 9'j;^(vzz:0, 1, 2, . . .) positive reelle Zahlen ebenso wie die Cv und bedeuten mv 

 positive ganze Zahlen von der in diesem Abschnitte betrachteten Beschaffenheit, so stellt das für 

 alle I £C [ ■<; 1 convergent und für cc rr 1 divergent vorausgesetzte Product 



<X> g 



P(x) = 77" (1 -j- r^x'^v^ " 

 11=0 



eine Function dar, die nur innerhalb des Einheitshreises | x | ■< 1 existirt, vorausgesetzt, dass 

 sich das Product nicht in zwei andere zerlegen lässt, von den das eine nur aus einer endlichen 

 Anzahl Factoren besteht, während das andere die Form 



17(1 + xP^") ^ 



n—o 



erhalten würde." 



Speciell existirt die durch das Product 



v=:l n—o 



dargestellte Function nur innerhalb des Einheitskreises |a;]=:l. In der hier angeführten 

 Reihenentwickelung bedeutet s„ die Null, wenn die Zerlegung von n in Summanden von der 

 Form v! (v zr 1, 2, 3, . . .) nicht möglich ist, dagegen 1, wenn eine solche Zerlegung existirt. 

 Es zeigt sich leicht, dass es derartige Zerlegung nur eine geben kann. — 



Indem wir diesen Abschnitt schliessen, bemerken wir noch, dass die hier betrachteten 

 Functionen uns durch Integration auch derartige liefern, die ihrem absoluten Betrage nach 

 unter einer bestimmten endlichen Constante bleiben. Solch eine Function ist z. B. 



V^ x^" 



es ist nämlich offenbar 



21» 



l^(»')l^^^<2. 



