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III. 



Wir haben oben gezeigt, dass die Function 



00 



v=0 



nur innerhalb des Einheitskreises existirt. Diese Function gehorcht einem merkwürdigen 



Transformationsgesetze 



f(x) = x-^f(x^), 



J&>- 



aus dem man die in Rede stehende Eigenschaft derselben sehr einfach ohne Rechnung er- 

 schliessen kann. Durch die auf der Hand liegende Vei'allgemeinerung des Beweisganges dieses 

 Satzes haben wir folgendes Theorem — das uns nicht ohne Interesse zu sein scheint — erhalten : 

 „ Ist f{x) eine durch eine für alle | as | <; 1 convergirende und ßir alle | sc | > 1 divergi- 

 rende Potenzreihe darstellbare Function, ivelche einem Transformationsgesetze von der Form 



f{x'') = G[xJix)] 



gehorcht, unter a eine bestimmte positive ganze Zahl und unter G(x, z) eine ganze rationale 

 oder eine ganze transcendente Function der beiden Veränderlichen x, z verstanden, so existirt 

 dieselbe Function f(z) nur innerhalb des EinheitsTcreises. " 



Beweis. Wäre der Satz nicht richtig, so wüi'de man auf der Kreislinie | cc Í = 1 

 einen Punct finden können, in dessen Umgebung sich die Function f{x) regulär verhalte. 

 In dieser Umgebung könnte man einen Bereich 2Í aussondern, welcher von zwei mit dem Null- 

 puncte concentrischen Kreisbögen von Halbmessern 1 — a und 1 -(- « und zwei radii vectores 

 begrenzt wird, also ein Kreisringausschnitt ist. Wir nehmen an, dass die Winkel, welche 

 die beiden radii vectores mit der reellen Axe einschliessen, in irrationalen Verhältnissen zu 2it 

 stehen, und bezeichnen mit ß die Differenz dieser beiden Winkel. Nun wählen wir n so gross, dass 



a"^ > 2« 



wird. Dann ist klar, dass wenn die Veränderliche x den Bereich 31 durchläuft, die Function 

 a;" alle Stellen eines stetigen Gebietes 9i„ als Werthe annimmt, und zwar besteht das Gebiet 

 2Í« aus einem vollen Kreisringe mit den Halbmessern (1 — «)", (1-t-«)", und es werden 

 der Annahme nach die Stellen eines stetigen Theiles dieses Ringes zweimal von der Function 

 angenommen. 



Aus der Gleichung 



f{x'') = G[x,f{x)\ 

 schliesst man eine andere 



(1) f{X-'') = GnVx,f{x)l 



in welcher ff„ eine analoge Bedeutung hat wie G. Aus dieser Gleichung (1) ist klar, dass 

 man alle den Stellen z des Gebietes 3i„ entsprechende Functionswerthe f(z) unzweideutig 

 bestimmen kann. Es bleibt uns zu zeigen, dass sich die Function /(z) in allen diesen Stellen 



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