Nun befindet sich unter den ť^ auch das Ebenenpaar X, Y. Wenn dann die Gerade xy die 

 F^ in z durchstösst, so müssen sich in z zwei Gerade von F^ treffen, die in den Ebenen X, Y 

 sind und auf q stehen. Mithin folgt, dass z einer der fünf Puncte c sein muss. Wird umge- 

 kehrt etwa «r angenommen, und durch l irgend eine Ebene gelegt, wobei sie einen Kegel- 

 schnitt 03" aus F^ schneiden möge, so hat man in a^, x"^ die Basis eines Büschels {F"^), durch 

 dessen Flächen aus F^ alle Kegelschnitte ?/* geschnitten werden, deren Ebenen die Gerade 

 K enthalten. 



Mithin existiren fünf Systeme solcher -P"^, wie sie verlangt wurden, den fünf Puncten 

 G entsprechend. Jede dieser F'^ berührt F^ in zwei Puncten sc, y, deren Verbindungslinie durch 

 einen der Puncte geht. Zur speciellen Untersuchung des zu ff gehörigen Systems der F'^ 

 bedienen wir uns einer Abbildung der i^', die wir oft mit Nutzen angewendet haben, und 

 die jetzt ausführlich behandelt werden soll. 



2. Neue Eigenschaften einer bekannten Transformation (/, (>) des Raumes. 



Ist eine Fläche IP gegeben, und wird ein Punct ff ausserhalb derselben als fest an- 

 genommen, so hat man in den Puncten r, p (auf den Strahlen r von ff), welche in Bezug auf 

 W conjugirt sind, eine quadratische Transformation des Raumes in sich. 



Wir lassen die Paare r, q den Ebenen E des Raumes in folgender Weise entspre- 

 chen : Wenn S die Polarebene von ff in Bezug auf fl* ist, a^^ der Schnitt von 2, IP heisst ; 

 so müssen die beiden Kegel, welche aus den Puncten r, q eines beliebigen Paares a* proji- 

 ciren, sich auf H'^ in einer ebenen Curve r'^ durchdringen; die Ebene von r^ sei E und 

 ihr entspricht das Paar »-, p. 



Wenn man andererseits IP mit einer beliebigen Ebene E in r"^ schneidet, und mit 

 »*, Q die Spitzen der Kegel bezeichnet, welche durch a'^, j-^ sich legen lassen, so fallen diese 

 bekanntlich auf den Strahl von ff, welcher zur Schnittlinie ES conjugirt ist in Bezug auf IP^ 

 und es ist auch r von q durch IP harmonisch getrennt. 



Wesentlich ist hiebei, dass der Pol ff' von E in Bezug auf H^ in ßr 

 liegt und von ff durch »-, q harmonisch getrennt ist. 



Denn projizirt man aus der Geraden EE die Puncte r, q durch zwei Ebenen, so 

 haben diese p, r zu Polen bezüglich íř*, und sind offenbar durch die Ebenen S, E harmo- 

 nisch getiennt. Demnach sind die Pole dieser vier Ebenen harmonische Puncte, nämlich: 

 r, Q, ff, 0'. 



Ferner ist hervorzuheben, dass wenn r irgend eine Gerade r des Raumes beschreibt — 

 also Q auf einem Kegelschnitt in der Ebene 6t bleibt — E einen Kegel 2ten Grads umhüllen wird, 

 dessen Spitze sich in 2 befindet. Denn da E stets die conjugiite Polare von ßr bezüglich H^ 

 enthält, so geht sie durch den Pol der Ebene ffr; schneidet die letztere S* in 6*, a* in den 

 Puncten 1, 2, so braucht man nur r aus 1, 2 auf h'^ zu projiciren, um 2 Puncte der Geraden 

 zu finden, welche E mit der Ebene ffr gemein hat. Es leuchtet aber sofort ein, dass diese 

 Gerade einen Kegelschnitt umhüllt. 



