3. Gebilde, welche durch die Transformation (r, q) in sich selbst verwandelt 



werden. 



a) Die Flächen 2tcu Grads P-. 



Wenn die Strahlen von g eine P* in Paaren r, q treffen, so ist der Ort des Punctes 

 G', welcher von g durch r, q harmonisch getrennt wird, eine Ebene; folglich enthalten die 

 betreffenden B nach 2. einen festen Puncty, den Pol jener Ebene. Wenn daher P" exi- 

 stirt, so gehört sie zu einem bestimmten Puncte p. 



Umgekehrt, zu jedem will kühr lieh im Eaume angenommenen Puncte p 

 gehört eine bestimmte Fläche P^. 



Beweis. Durch ^p seien irgend zwei Ebenen -Rj, -ß, gelegt, die aus IP die Curven 

 r], r; schneiden. Alsdann sind es', r] und aV^ die Basen zweier Flächenbüschel, die auf jeder 

 durch p gezogenen Geraden p die nämliche Involution j ausschneiden; denn in diesen 

 Involutionen kommen als Paare vor: erstens die Schnittpuncte von p mit H-, zweitens p und 

 der Durchstosspunct von p mit 2. 



Nun sind die Doppelpuncte von j zwei Puncte r ; denn nach 2. folgt, dass auf p zwei 

 Kegelspitzen sind, deren entsprechende R durch p gehen. Diese sind offenbar die Doppel- 

 puncte der für alle durch p denkbaren R unveränderlichen Involution. Es erübrigt zu zeigen, 

 dass diese Doppelpuncte für alle p auf einer Fläche 2ten Grads liegen: r^ sei ein solcher 

 Doppelpunct, dem die Ebene R^ zugeordnet ist. Es gibt eine Fläche P^ welche durch 9\ 

 geht und den Kegel, der aus p die Gurve a* projicirt, längs a' berührt, sie sei P'^. Sucht 

 man auf der Geraden p die Involution conjugirter Pole für P^, so liegt von dieser ein Paar 

 vor in 2^ mid dem Schnittpuncte pH, ein zweites besteht aus den Puncten, in welchen p den 

 Kegel durchdringt, welcher r, mit «^ verbindet. Um letzteres sofort zu sehen, betrachte man 

 den Schnitt von P- mit der Ebene i\p. Somit erhellt, dassji' selbst die Involution 

 der conjugirten Pole für P^ ist. 



Es muss bemerkt werden, dass die Polarebene von p bezüglich H-, als Ort von <?' 

 identisch ist mit der Polarebene von g in Bezug auf P*, dass auch die Schnittlinie dieser 

 Ebene mit H'^ der Fläche P- angehören muss. Und hieraus ergibt sich, dass wenn man 

 analog wie mit <r, i7^ eine Transformation mittelsp, P^ herstellte, in dieser 

 zum Puncte <r die Fläche íř' gehören würde. 



Liegt speciell p in J2*, so wird P^ der Kegel mit der Basis a*, der Spitze p; liegt 

 p in 2, so zerfällt P^ in 2 und die Polarebene von p in Bezug auf H^. 



b) Die in sich transformirbaren Kegelschnitte g*. 



Es ist selbstverständlich, dass die Ebene eines solchen g'^ durch g geht. Bestimmt 

 man dann die Puncte g', so findet man sie auf der Polare von g bezüglich g-. Daher werden 

 die den Paai'en ?■, g zugewiesenen Ebenen einen Büschel bilden, dessen Axe g jener Polare 

 in Bezug auf H' conjugirt ist. Wir sagen, zur Geraden g gehört g''. 



Wird andererseits g angenommen, so existirt stets ein zugehöriger g'^. Denn zu je 



