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zwei Puncten j^j, p^ der 9 gehören P\, P\, die ausser a^ noch einen Kegelschnitt gemein 

 haben, dieser ist g'^. 



Zwei in derselben durch 6 gelegten Ebene befindliche g" haben zwei Puncte auf a' 

 gemein, überdies noch ein Paar r, p; die Geraden g, zu welchen sie gehören, schneiden 

 sich auf S und umgekehrt. 



Zu zwei windschiefen g gehören g^, die keinen gemeinschaftlichen Punct ausserhalb a^ 

 besitzen. Noch ist zu beachten, dass g^ zerfällt, wenn H'^ von g berührt wird, 

 etwa in f. In diesem Falle besteht g^ aus 2 Seiten des Kegels P^ welche 

 dieser mit der Polarebene des in S befindlichen Punctes von g (bezüglich 

 H}) gemein hat. Wird hingegen Ä^ von g in zweigetrenntenPuncten^Si,^^ ge- 

 troffen, so kann g^ deshalb nicht zerfallen, weil die Kegel P\, PI nicht zwei 

 Kanten gemein haben können. 



c) Die in sich transformirbaren Raumcurven 4ter Ordnung R*. 



Hier muss selbstverständlich g die Spitze eines der dui'ch R* möglichen quadratischen 

 Kegel sein, z. B. von a'^. Alsdann liegen bekanntlich die Puncte 0' in der Ebene ä, welche 

 die 3 anderen Kegelspitzen enthält, und zugleich auf g"^. Demzufolge umhüllen die R die 

 Polarfigur des Schnittes von S, g"^ bezüglich H"^, das ist einen quadratischen Kegel. 



Die Eichtigkeit des Inversen ist offenbar. 



d) Die in sich transformirbaren cnbischen Flächen F^. 



Zunächst ist einleuchtend, dass eine derartige -F' durch g gehen muss, weil jede 

 durch G denkbare Gerade r die Fläche in einem einzigen Punctepaar — i-, p — durchdringt. 

 Fasst man eine r in's Auge, welche H''' in einem Puncte r° auf a* berührt, so wird íq zu 

 jedem auf r möglichen Paare gehören. Demnach muss F'^ durch «^ gehen, und es fällt in Z 

 eine Gerade q der Fläche. Nun ist jeder Punct von q mit einem Nachbarpuncte von g ge- 

 paart; daher wird die Ebene qff Tangentialebene von F^ in g sein, und demzufolge 2 sich 

 in G schneidende Gerade Í, A mit F^ gemein haben. 



Bestimmt man jetzt die Puncte e', so erhält man die quadratische Polarfläche £{ 

 von G für die i^^, und es werden die den Paaren von F^ zugewiesenen Ebenen Ä Tangential- 

 ebenen einer Quadrifläche Q" sein, welche die Polarfigur von El in Bezug auf IP als Grund- 

 fläche ist. Sind l\ l' die conjugirten Polaren von l, A, also in E gelegen, so muss Q^ diese 

 beiden Geraden aufnehmen, in ihrem Schnittpuncte % die E berühren. 



Hieraus sieht man, dass eine -F^, wie sie vorausgesetzt wurde, zu einer bestimmten 

 die Ebene E berührenden Quadrifläche Q'^ derart gehört, dass den Tangentialebenen von Q- 

 die Paare auf F^ in eindeutig umkehrbarer Weise entsprechen. Die Inversion hievon gestaltet 

 sich sehr einfach: 



Geht man von Q^ aus, so ergibt sich zunächst 2?;, ihre Polarfigur als Ort der Puncte 

 0'. Das auf gg' befindliche Paar r, q ist dadurch bestimmt, dass es sowohl durch g, g', als 

 durch H"^ harmonisch getrennt wird, d. h. die »-, p sind die Doppelpuncte der auf den Ge- 



