radea r durch die Flächen S\, H" bestimmten Involutionen. Dass auch auf jeder r ein Paar 

 V, Q auftritt, folgt, wenn man durch die conjugirte Polare v' von r bezüglich Ä* die von 2 

 verschiedene Tangentialebene an Q} beachtet. Will man die Doppelpuncte, von welchen die 

 Rede ist, construiren, so kann man also verfahren: 



2^;, Q^ durchdringen sich in einer Raumcurve i*, welche Grundcurve eines Büschels 

 von Quadriflächen ist. Zieht man von 6 an sämmtliche Flächen dieses Büschels Tangenten, 

 so erhält man in den Berührungspuncten die fraglichen Doppelpuncte, oder sämmtliche r, p; 

 aber auf diese Weise construirt man eine cubische Fläche. 



4. Mit Hülfe der zwischen -F* und einer gewissen Cf^ etablirten Abhängigkeit, die 

 nach 1. stets möglich ist, lassen sich die Quadriflächen 2^, welche a^, nebstdem noch zwei 

 Kegelschnitte mit F^ gemein haben und das System a consti'uiren, sehr klar übersehen: Den 

 Tangentialebenen R von Q} entsprechen die Paare der F^. Wenn g eine Gerade von Q^ be- 

 deutet — auf A' stehend — so gehört zu ihr ein Kegelschnitt g^, welcher auf F^ liegt, und 

 dessen Ebene die Gerade l enthält. 



Heisst y eine Gerade der anderen Schaar, für welche l' die Transversale ist, so wird 

 die Ebene des zugehörigen y- die Gerade l enthalten. Dem Schnittpuncte / von g, y ist eine 

 F''' des in Rede stehenden Systems zugewiesen, und die zu allen Puncten der Q^ ge- 

 hörenden Quadriflächen machen das ganze System g aus. 



Durch ein im Räume beliebig gewähltes Paar i-g, q^ — ausserhalb F^ — gehen ein- 

 fach imendlich viele F^. Sie gehören den Puncten / an, welche die Ebene R^ mit Q' gemein 

 hat; und werden von einer F* eingehüllt, welche die Doppelcurve a", die Doppelpuncte r^Q^ 

 besitzt und der F^ längs einer Raumcurve 4ter Ordnung a* umbeschrieben ist. (Siehe meinen 

 Aufsatz VII, Folge, IL B. dieser Abhandlungen No. 8.) 



Es werde eine beliebige Fläche F* mit der Doppelcurve a* betrachtet; Qq sei ein 

 willkührlicher Punct derselben. Dem Kegel der o^ aus q^ projicirt, beschreibe man längs a" 

 eine Quadrifläche G- ein, und nenne (r, g) die Transformation, deren Centrum 

 i»o, deren Ordnungfläche Q- ist. Durch diese wird i^* in eine F^ verwandelt, welche a* 

 enthält, mithin eine Gerade q aus der Ebene E schneidet, in welcher «^ liegt. Eine der fünf 

 Tangentialebenen von F^^ welche durch q möglich sind, berühre in s; dann ist sdas 

 Cent rum einer Transformation (r, p), durch welche F^ in sich übergeführt wird. Mithin 

 existiren durch a", q^ í-,, 00^ Quadriflächen F-^ welche die F'^ in Punctepaaren r, q berühren. 

 Diese sämmtlichen F'^ werden durch die erste Transformation (r, a) in Ebenen verwandelt, 

 die den Punct (Tq aufnehmen, in welchen r^ sich transformirt. So findet man 00 ^ Bitangential- 

 ebenen der i^* und ihi-e Enveloppe, die transformirte oben angegebene Fläche 4ter Ordnung 

 mit den Doppelpuncten r„, q^. 



Vor allem muss man die Kegelschnittpaare x^^ y"^ in Betracht ziehen, welche von den 

 in Bitangentialebenen der -F* übergeführten F'^ aus F'^ geschnitten werden. Sind j, ^ die in 

 s sich treifenden Geraden der F^, so besteht ein beliebiges Paar aus einem sc*, dessen Ebene 

 durch y, einem ?/-, dessen Ebene durch ^ geht, und es werden auch in diesen Paaren alle so 

 möglichen Kegelschnitte vertreten sein. Hiebei aber ist jedem x^ ein bestimmter y^ zuge- 

 wiesen, da es nur eine F« gj^t^ die a^ x^ und noch einen Punct Po enthält. 



