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Mittels der Transformation wird ein Paar aj'^, ?/* wiederum in ein Kegelschnittpaar — 

 5*, t)'* — verwandelt, weil i^*, auf welcher a;^, y^ vorkommt, in eine Ebene übergeht, und 

 die Transformation centrisch ist. 



Denkt man die oo ^ durch a^, sc* möglichen Quadriflächen Z^, so enthalten diese sämmt- 

 liche y''\ unterwirft man die X"^ der Transformation (?-, ff), so gehen sie in Quadriflächen i* 

 über, weil a* auf allen X^ liegt. Da aber die erhaltenen 'SP' einen Büschel mit der Basis a^, 

 Ý bilden, sie daher noch einen variablen Kegelschnitt mit F* gemein haben, der kein anderer 

 als t)^ sein kann, so folgt für F* : 



Nimmt man aus einer beliebigen Bitangentialebene einen Kegelschnitt f'', und benutzt 

 ihn mit der Doppelcurve a* als Basis eines Büschels (^*), so schneiden dessen Flächen noch 

 einen variablen Kegelschnitt \)^ aus F*, dessen Ebene einen festen Punct Gq der Ebene des 

 y* enthält. 



Zieht man von ßg an die X^ Tangenten, so ergibt sich als Ort ihrer Berührungspuncte 

 eine Quadrifläche Hl. Sie geht durch a^, und berührt längs dieser den Kegel, welcher seine 

 Spitze in <>o hat. Also wird F* durch die quadratische Transformation, für welche Gq das 

 Centrum, Hl die Ordnungsfläche ist, in sich verwandelt. 



Bestimmt man ferner für jeden auftretenden ^^ die Polare des Punctes Cq, so eifüllen 

 diese ein Hyperboloid £[. (a. a. 0. No. 6). 



Die Polarfigur dieses Hyperboloids in Bezug auf Hl liefert endlich eine Quadrifläche 

 Q-, deren Berührungsebenen R die Paare der F* in der unter 2. beschriebenen Weise ent- 

 sprechen : 



Das Vorstehende lässt sich kurz so zusammenfassen: 



Eine Í"" mit der Doppelcurve a^ kann durch 5 Transformationen der hier näher defi- 

 nirten Art in sich übergeführt werden, und es entsprechen die Paare, welche in diesen Trans- 

 formationen auftreten, den Tangentialebenen von 5 verschiedenen Quadriflächen Q*. 



Wäre umgekehrt die Transformation gegeben durch ihr Centrum a 

 ihre Ordnungsfläche H^, wodurch «^ sich bestimmt, so gehört auch zujeder 

 beliebigen Quadrifläche Q'^ eine F* mit der Doppelcurve a^. 



Beweis. Q^ denke man erzeugt durch eine variable Gerade y, welche zwei fest- 

 gehaltene Gerade g,, g^ in den Puncten Pi, p^, die Ebene 2 — Polarebene von ff, in welcher 

 a'^ liegt — in p trifft. Zu g,, gj, y mögen die Kegelschnitte gj, g^, y^ gehören; dann be- 

 schreibt y^ die F*: Denn die Flächen P;, P\ beschreiben zwei Büschel, deren Grundcurven 

 in a", g' und «^, g^ vorhegen. Sieht man die beiden Flächen als homologe an, welche den- 

 selben y"^ enthalten — wie z. B. P\, P\, so sind die Büschel projectivisch auf einander be- 

 zogen: Nämlich die P' entsprechen projectivisch den Puncten ^Jj, da diese die Pole der festen 

 Ebene 2 in Bezug auf die PJ sind. Ebenso verhält es sich mit den P\ und den p^ ; und weil 

 die ^2 den pj projectivisch zugewiesen sind, so gilt Gleiches für die P-, und y"^ beschreibt 

 eine F*. Zieht man in Erwägung, dass die zum Puncte p gehörende P* ebenfalls y''' enthalten 

 muss, dass aber diese P^ die Polarebene P von p in Bezug auf H'^ als Bestandtheil hat, so 

 folgt, dass die variabele Ebene P, welche um g sich dreht, Bitangentialebene von P'' ist. Da 

 endlich der Ort für p die q^ ist, welche Cf^ mit 2 gemein hat, so umhüllt P den quadrati- 

 schen Kegel ff^ der die Polarfigur von q^ bezüglich -H* ist. 



