5. Die Steiner'sche Fläche i^. 



Eine Kegelfläche 4ten Grads wird von einer Tangentialebene stets in einer zerfallenden 

 C* geschnitten, von welcher der eine Theil eine Gerade ist. Wäre nun nicht eine F* denkbar, 

 die von ihren Tangentialebenen in Kegelschnittpaaren geschnitten wird? Ich kenne manchen 

 modernen Geometer, welcher diese Frage aus folgendem Grunde verneinen würde: Eine so 

 beschaffene F* müsste jedenfalls eine Doppelcurve 3ter Ordnung besitzen. Weil nun eine 

 Raumcurve W durch jeden Punct des Raumes eine Bisecante sendet, so muss eine F* mit 

 der Doppelcurve R^ nothwendigerweise Eegelfläche sein. Bei diesem Schlüsse übersieht man, 

 dass es immerhin noch möglich — freilich nur so möglich — wäre, dass die Doppelcurve 

 aus drei in einem Puncte zusammentreffenden Geraden bestände, in welchem Falle F* gewiss 

 nicht Regelfläche sein kann, da auf jeder Erzeugenden e zwei Doppelpuncte der Fläche sein 

 müssten, und daher e in eine der drei Ebenen des von den Doppelpunctsgeraden gebildeten 

 Dreikants fiele. 



Also, die Möglichkeit der Fläche zugegeben, ist die Beschaffenheit der Doppelcurve 

 unzweifelhaft festgestellt. Was die Wirklichkeit angeht, so sind die bekannt gewordenen Her- 

 leitungen für eine so einfache Sache viel zu complicirt. Es passt diese Bemerkung auch auf 

 die Betrachtung, welche Herr Weierstrass im 64. Bande des Crelle-Borchardt'schen Journals 

 als diejenige bezeichnete, welche Steiner zur Entdeckung der merkwürdigen Fl geführt hat 



Erste Erzeugung der F\. 



Wir stellen die quadratische Transformation (?-, p) auf, deren Ordnungsfläche ein Kegel 

 iZ* ist mit der Spitze ä, das Centrum sei <?. 



Die Tangentialebenen, die von g an IP gehen, berühren in [den Kegelkanten a, «, 

 deren Ebene Z heisst. 



Nimmt man eine Regelfläche Fl an, welche a, « zu einfachen Geraden hat und nicht 

 durch geht, und unterwirft sie der Transformation (r, p), so erhält man eine Fläche 4ter 

 Ordnung, und diese bekommt a, « zu Doppelpunctsgeraden. F^ aber besitzt eine durch h 

 gehende Doppelpunctsgerade b, welche durch (r, p) in eine andere durch h gehende Gerade ů 

 verwandelt wird, und d wird ebenfalls auf der durch die Transformation gewonnenen Fläche 

 eine Doppelpunctsgerade sein; folglich ist diese Fläche Fl. 



Nachdem auf diese Weise Fl erhalten worden ist, lege man a irgend wo auf die 

 Fläche, jedoch nicht in eine der 3 Geraden o, «, d, behalte aber íř' bei. So entsteht eine 

 neue Transformation (x, x'), durch welche Fl selbst in eine F' übergehen wird. Diese F^ 

 enthält die Geraden a, « einfach, die aus 6 heiTorgehende d' als Doppelpunctsgerade, ist 

 mithin eine Regelfläche Fl. 



? sei eine von a, a verschiedene Erzeugende der Fl, welche d' in ď trifft. In der 

 Ebene ff? liegt noch ein Kegelschnitt e^ der Fl; e' geht durch ď und die beiden Puncte 

 1, 2, in welchen beziehlich a, « die Ebene g% durchstossen. ? transformirt sich in ?^, der 

 durch 1, 2 und den Punct d auf d geht, dem in der Transfoi-mation ď zugeordnet ist. e' wird 

 übergehen in e*, der ebenfalls die Puncte 1, 2, d aufnimmt. Der fehlende 4te Schnittpunct 



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