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von g^ c' ist der Berührungspunct der Ebene er? mit Fl; d. h. der Kegel, welclier der 

 Fl aus einem ihrer Puncte umschrieben werden kann, ist 3ter Klasse. 



Zweite Erzeugung der Fl. 



Diese geschieht mit Hülfe der eben benutzten Transformation (r, p), indem man die- 

 selbe auf eine Quadrifläche F" anwendet, welche inÄ die Ebene 2 berührt, und nicht 

 durch ff geht. 



Es ist ohne Weiteres klar, dass F^ in eine F* übergeht, welche a, a als Doppel- 

 punctsgerade besitzt, auch ist leicht darzuthun, dass jeder Punct von ha Doppelpunct der F* 

 sein muss: Es genügt zu zeigen,- dass irgend eine durch he gelegte Ebene E eine Linie 2ten 

 Grads mit -F* gemein hat: 



E schneide F- in r"^, IP in den Kanten \, i, ; die Tangente der r"- im Puncte h ist 

 nun durch ij, t„ von 2?, ff harmonisch getrennt. Daraus folgt, dass »-^ durch die Transforma- 

 tion wieder in einen durch ä, ff gehenden Kegelschnitt p^ verwandelt wird. 



Dass durch jeden Punct auf ha zwei Kegelschnitte p^ gehen, ergibt sich also: 



Zunächst für ff : F* hat in 2? 2 in ä sich schneidende Gerade ; legt man durch eine 

 derselben und ff eine Ebene, so fällt in diese noch eine Gerade von F^, die in einen durch 

 Ä, ff gehenden Kegelschnitt p* übergeht. Handelt es sich um einen von ff verschiedenen 

 Punct ff, auf Äff, so benutze man ihn als Transformationscentrum, während IP als Ordnungs- 

 fläche bleibt. 



Alsdann entsteht als transformirte Fläche der Fl eine -FJ, die, wie leicht einzusehen, 

 E m h berührt u. s. w. 



Man erkennt so zugleich, dass ffj wie ff Biplanarpunct der Fl ist, sowie dass aus 

 einem Doppelpunct der F* sich ein Quadrikegel ihr umbeschreiben lässt. 



Die 4 singulären Tangentialebenen der F^. 



In der vorliegenden Transformation entsprechen den Ebenen des Baumes die cc^ 

 Flächen ii>'^, welche durch a, « und ff möglich sind. Unter diesen gibt es 4, die F^ längs je 

 einem Kegelschnitt umschrieben sind: Nämlich i/»^ sei eine solche, x"^ die durch h gehende 

 Berührungslinie von ■^'^^ F*. Eine beliebig durch ff gelegte Ebene schneide aus ■^^ F* die 

 Curve y"^, /^ und treffe a, « in den Puncten 1, 2. Dann muss y"^ die 3 Puncte ff, 1, 2 ent- 

 halten, und /* in 2 Puncten cc^, x^, des cc^ berühren. Thatsächlich existiren durch 1, 2, ff 

 vier Kegelschnitte ?/^ die P doppelt berühren; sc,, x^ seien für y"^ die betreffenden Berüh- 

 rungspuncte. Die Ebene hx■^x^ schneidet aus F* einen Kegelschnitt cc*, und es mögen die 



3 Tangentialebenen der F^ in ä, x^x^ den Punct o gemein haben. Jetzt gibt es eine Fläche 

 Z^, welche dem Kegel o(x'^) längs x"^ einbeschriehen ist, und durch irgend einen auf o ge- 

 wählten Punct a geht, a wird demnach eine Gerade der X"^ sein, und Z* hat mit cc'^ gemein 

 den Punct 1, dann je 2 in «i, x^ vereinigte Puncte, mithin fällt as' ganz in X\ Eine weitere 

 Folge ist nun, dass auch Punct 2 in A^ liegt, daher auch die Gerade k. Die 4 nachgewie- 

 senen X"^ kommen mithin unter den ^'^ vor, und man erhält durch Transformation derselben 



4 Ebenen, welche Fl längs je einem Kegelschnitt berühren. 



