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\e sortě qu'en prenant 



Ä = (1 — .r-) (1 - kV-) , G = r'U\ A— V, 

 la relation precedente nous donne: 



Cela étant je dis que Q^ est divisible par V, c'est k dii-e que le second membre ne 

 contient pas ďintégrales de troisiéme espěce, qui admettent des infinis logarithmiques. 

 M. Fnch obtient a priori et sans calcul ce résultat important que j'etablirai ensuite algé- 

 briquement, de la maniěre suivante. L'illustre geometre m'a fait observer que Tintégrale 



-' Vn_ 



lY^y 



n'ayant point ďinfini logaritlimique, il en est de niéme nécessairement de la transfoiinée en 

 X obtenue en faisant yz=-^, puisque la nouvelle variable est une fonction algébrique de y. 



Q 



II ne nous reste plus par conséquent qu'ä obtenir le polynome Q et le quotient entier -y 



Pour cela j'employe l'equation diíférentielle 



dy 1 dx 



aprěs avoir substitué la valeur y = ^, j'éléve au carré, ce qui donne Fégalité : 



M-iR (U'V— UVy = F* — (1 + A'') UW^ + A^ř/* , 

 ou souš une autre forme: 



i72 (M'^RV' — K^U^) =V* — (l-\- A2) UW — M''E {U'W — 2ÜU'VV') . 



On montre ainsi que M^RV^ — A*Z7^ est divisible par V qui, étant premiér avec TJ et par 

 conséquent avec í/^, entre dans le second membre comme facteur. Soit donc, en désig- 

 nant par H un polynome entier, 



BPRV''' — k^W=Vn, 

 nous aurons: 



rO""- = — VH-\- MmV'^; 



or la relation par laquelle se déterminent les quantités désignées plus haut par P et Q, 

 étant maintenant: 



