feoit Xn =z F(z) le polynome de Legendre du degre w, et R (z) la partie entiěre 

 du produit 



^^(1+3^+5^+-)' 



je poserai sous la condition que le module de la variable soit supérieur ä l'unite: 



et dans le cas contraire, 



Q» (i).= |f (x) log |±-J - R (z) 



Q- W = yf (») % £±| - iř (as). 



Ces expressions vérifient 1'équation différentielle 



(»"-1)^+8« |=i.(» + l)jf, 



et représentent dans tout le plan, sauf sur la circonférence de rayon égal ä 1'unité et dont 

 le centre est ä 1'origine, ce que Heine nomme la fonction sphérique de seconde espěce. 

 L'ouvrage classique de Fillustre geometre en exposé les propriétés fondamentales qui sont ďune 

 grande importance, mais il n'aborde pas 1'étude de 1'équation Q" (z) = O, la recherche de ses 

 racines reelles ou imaginaires. J'ai essayé de traiter la question en employant le théorěme 

 célěbre de Cauchy dont je rappelle 1'énoncé. 



Soit f(s) = une équation ayant pour premiér membre une fonction holomorphe 

 quelconque; si 1'on pose 



f(z + iy) = P+iQ, 



Fexcěs du nombre de fois que le rapport -p passe de positif au négatif, sur le nombre de 



fois qu'il passe du négatif au positif en devenant infini, lorsque la variable z = x-\-iy décrit 

 dans le sens direct un contour fermé, est égal au double du nombre des racines contenues 

 ä 1'intérieur de ce contour. 



i* 



