M. Hermite: 



La fonction Q n (x) que nous avons ä considérer n'est pas holomorphe, mais eile le 

 devient par un changeinent de variable, et lorsqu'il s'agit de la pre miěre de ses deux expres- 

 sions, ä savoir: 



je ferai 



Q» <p) = ±-F (x) log J±_J _ e (x), 



x + 1 



x — 1 

 d'ou 



— e " + l 



~ eř — 1 " 

 En posant alors pour abréger: 



í>(eO = ^(^-l)» J p(^) ) Il(e*) = (e>-irR(^±^ 



j'aurai deux fonctions entiěres du degré n en e", et par conséquent, sous la forme voulue, 

 l'equation : 



z®(e») —n(er) = ö. 



Une premiére remarque permettra de chercher seulement les racines qui sont dans 

 le demi-plan au dessus de Taxe des abscisses. Soit, en effet, 



/GO=-0<p(í9 — jr(*), 



les égalités 



F(—x) = (— 1)" F(x\ R(—x) = (— 1)» - 1 R (x) 



donnent immédiatement : 



/(-o=-^, 



et l'on voit que les racines étant deux ä deux égales et de signes contraires sont placées 

 symétriquement par rapport ä l'origine. Ce point établi je ferai usage, pour mon objet, de 

 contours qui seront des rectangles ayant leurs cötes paralleles aux axes coordonnés. Les cótés 

 paralleles ä Taxe des abscisses seront représentés par les équations 



z z= kin -j- 1, z = (k -\- 1) in -)- 1, 



oů Je est entier, en faisant croitre t de — a ä -f- a ; les autres seront 



z — kin -j- a -\- it, z = Mn — a -f- it, 

 t variant alors de zéro ä «. 



J'ai maintenant k obtenir dans ces divers cas le premiér membre de V équation sous 

 la forme P-\-iQ, puis ä calculer pour chacun ďeux ce que Cauchy nomme l'indice de -=. 



