Sur les racinea de la fonction sphérique de seconde espece. 5 



Supposons ďabord que k soit pair, on aura 



/ (kin + t) = (kin + í) * (e<) — H (e<) 

 et par conséquent, 



P = t (e*) — n (ď), Q = kn<P(e t ), 



en observant que les coefficients des fonctions $ (ď) et 17 (e ř ) sont réels. Pour obtenir ensuite 

 l'indice de —-, entre les limites t = — a, t = -\-a, j'aurai recours ä la relation 



Ind p + Ind g- = s 



oii s se déterminera par la regle de Cauchy. Je remarque ä cet effet que si nous attribuons 

 ä t une valeur considérable, 1'expression 



P_l f iT(«Tj 

 Q — for |_ fl>(e*)J 



se réduit sensiblement ä f- , le second terme étant fini puisque 1'exponentielle entre au méme 

 len 



degré dans le numérateur et le dénominateur de la fraction. En supposant la quantité a trěs 

 grande nous aurons donc aux limites pour t = — a, t = -f- a, les signes — et -)-, par consé- 

 quent e = — 1. Ce résultat obtenu, éerivons successivement 



Ind * = Ind \t - W = lnd\-%m =-*d§®, 



puis revenons ä la variable 



_e ť +l 



ce qui donne 



II(e t )_ 2R(x) 

 (e*) ~~ .F(a:) ' 



On remarquera que la quantité x reste toujours en dehors des limites — 1 et-f-1, de sortě 

 que F(x) ne peut s'annuler, ni la fraction devenir infinie. L'indice est donc nul et il en ré- 

 sulte qu' entre les limites considérées t = — a, t = -\- a on a: 



/»á|=- 1. 



Passons maintenant au cas oů rentier k est impair, et soit alors 



f(kin + t) = P 1 + iQ 1 , 

 en posant 



P 1 — t0{—e t ) — n(—e t ), Q 1 z=kn$(—e t ). 



